








Indice.
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Glossario dei termini scientifici.
Riferimenti bibliografici.
NOTE al testo.
NOTE E RIMANDI.
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Fine indice.
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Glossario dei termini scientifici.
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acceleratore (di particelle) Apparato sperimentale in cui le particelle vengono fatte collidere tra loro ad alta velocit.
assolutista, posizione Concezione che sposa l'idea dello spazio assoluto.
big crunch Uno dei possibili esiti finali dell'universo, simile a un big bang alla rovescia, in cui lo spazio collassa su se stesso.
buco nero Corpo dotato di un colossale campo gravitazionale che intrappola tutto ci che gli passa vicino (oltre il suo orizzonte degli eventi), luce compresa.
campo Una "essenza" che permea lo spazio, la cui funzione  far agire una forza o descrivere la posizione e il moto di una particella; dal punto di vista matematico  un modo di associare uno o pi numeri (il valore del campo) a ogni punto dello spazio.
campo dell'elettrone (o elettronico) Campo che ha come suo costituente elementare l'elettrone.
campo di Higgs elettrodebole Campo che assume un valore non nullo nello spazio vuoto e d origine alle masse delle particelle elementari.
campo di inflatone Campo con energia e pressione negativa responsabile dell'espansione inflazionaria.
campo elettromagnetico Il campo attraverso cui si esercita la forza elettromagnetica.
candela standard Corpo celeste di cui  nota la luminosit intrinseca, usato per la misurazione delle distanze astronomiche.
collasso della funzione d'onda Ipotetica transizione in cui una funzione d'onda passa da una configurazione diffusa a una configurazione concentrata su un unico picco.
cosmologia Studio dell'origine e dell'evoluzione dell'universo.
cosmologia inflazionaria Teoria cosmologica che sostiene che l'universo ha avuto una breve ma colossale espansione nei suoi primi istanti di vita.
costante cosmologica Ipotetica forma di energia e pressione che riempie lo spazio in modo uniforme; non se ne conoscono l'origine e la composizione.
CROMODINAMICA QUANTISTICA (QCD) Teoria quantistica di campo dell'interazione nucleare forte e dei quark.
curvatura negativa Uno spaziotempo ha questa propriet geometrica (una forma analoga a quella di una sella) quando la sua densit di massa/energia  minore di quella critica.
d-brane (Dirichlet-p-brane) p-brane "appiccicose" su cui sono vincolati a restare attaccati gli estremi delle stringhe aperte.
densit critica Densit di massa/energia richiesta affinch lo spazio sia piatto;  pari circa a 10-23 g/m3.
energia oscura Ipotetica forma di energia e pressione che riempie lo spazio in modo uniforme;  una nozione pi generale della costante cosmologica, dato che l'energia e la pressione possono variare nel tempo.
energia potenziale Energia immagazzinata in un campo o in una particella.
entanglement Fenomeno quantistico grazie al quale due o pi particelle separate spazialmente hanno propriet correlate.
entropia Misura del disordine di un sistema fisico, data dal numero di cambiamenti delle configurazioni microscopiche del sistema che ne lasciano inalterate le propriet macroscopiche.
etere (luminifero) Ipotetica sostanza diffusa in tutto lo spazio che costituirebbe il mezzo attraverso cui si propaga la luce; un'idea che si  dimostrata errata.
fisica classica In questo libro, la fisica governata dalle leggi di Newton e di Maxwell. Pi in generale, questo termine si usa spesso per indicare tutta la fisica non quantistica, compresa la relativit ristretta e quella generale.
fluttuazioni quantistiche Rapide e inevitabili variazioni del valore di un campo a piccole scale, dovute al principio di indeterminazione.
forza (o interazione) elettromagnetica Una delle quattro forze (o interazioni) fondamentali della natura, che agisce sulle particelle elettricamente cariche.
forza di Casimir Forza dovuta al fatto che le fluttuazioni quantistiche del vuoto non sono in equilibrio.
fotone Particella mediatrice della forza elettromagnetica; un "pacchetto" di luce.
freccia temporale La direzione in cui sembra scorrere il tempo, dal passato al futuro.
funzione d'onda In meccanica quantistica, un'onda che d la misura della probabilit di una particella di trovarsi in un certo punto.
gluone Particella mediatrice dell'interazione nucleare forte.
grande unificazione Teoria che si prefigge di unificare le forze nucleari e l'elettromagnetismo.
gravitone Particella mediatrice (non ancora osservata) dell'interazione gravitazionale.
indipendente dal background Si dice di una teoria fisica in cui lo spazio e il tempo non sono definiti a priori in modo assiomatico, ma derivano da concetti pi fondamentali.
inerzia Capacit di un corpo di resistere all'accelerazione.
interazione nucleare debole Forza della natura che agisce a scala subatomica, responsabile di fenomeni come il decadimento radioattivo.
interazione nucleare forte Forza della natura che agisce sui quark, tenendoli uniti a formare i protoni e i neutroni.
interferenza Fenomeno dovuto alla sovrapposizione di onde che danno origine a una figura caratteristica; in meccanica quantistica risulta dalla combinazione di storie possibili che sembrano, per il senso comune, mutuamente esclusive.
interpretazione a molti mondi Interpretazione della meccanica quantistica secondo la quale tutte le potenzialit insite in una funzione d'onda si realizzano in universi separati.
interpretazione di Copenaghen Interpretazione della meccanica quantistica secondo cui gli oggetti macroscopici sono soggetti alle leggi classiche e quelli microscopici alle leggi quantistiche.
lunghezza di Planck Pari a 10-33 centimetri. L'ordine di grandezza al di sotto del quale il conflitto tra meccanica quantistica e relativit generale diventa manifesto e l'usuale nozione di spazio non pi applicabile a causa delle fluttuazioni quantistiche.
massa di Planck Pari a circa dieci miliardi di miliardi di volte la massa di un protone, circa uguale a quella di un granello di polvere (10-5 grammi);  la massa tipica di una stringa in vibrazione.
materia oscura Materia diffusa nello spazio, che esercita un'attrazione gravitazionale ma non emette luce.
meccanica quantistica Teoria sviluppata negli anni Venti e Trenta del xx secolo che descrive il comportamento della materia a livello atomico e subatomico.
modello standard Teoria che comprende la cromodinamica quantistica e la teoria elettrodebole; fornisce una descrizione della materia e di tutte le interazioni, esclusa quella gravitazionale. Presuppone che le particelle elementari siano puntiformi.
mondo-brana Ipotesi all'interno della M-teoria, secondo la quale le usuali tre dimensioni spaziali di cui abbiamo esperienza diretta sarebbero una 3-brana.
M-teoria Teoria (ancora incompleta) che unifica le cinque versioni delle teorie di stringa, fornendo cos una descrizione quantistica completa della materia e di tutte le interazioni.
oceano di Higgs In questo libro, espressione usata come abbreviazione di valore di aspettazione sul vuoto non nullo del campo di Higgs.
orizzonte cosmico Regioni dell'universo oltre le quali la luce non ha avuto tempo di raggiungerci, viaggiando dall'istante del big bang.
orizzonte degli eventi Superficie immaginaria che circonda un buco nero e che rappresenta il luogo dei punti di non ritorno: tutto ci che l'attraversa non pu pi sfuggire all'attrazione gravitazionale del buco nero.
particella mediatrice Il pi piccolo "pacchetto" di forza; ci che, a livello microscopico, media la trasmissione della forza stessa.
particelle W e Z Particelle mediatrici della interazione nucleare debole.
p-brane Costituenti elementari previsti dalla M-teoria, dotati di p dimensioni spaziali. Vedi anche d-brane.
principio di indeterminazione Principio della meccanica quantistica che pone un limite intrinseco alla precisione con cui si possono misurare certe propriet fisiche complementari.
principio di Mach Principio secondo cui il moto  solamente relativo e il riferimento di quiete standard  dato dalla distribuzione media delle masse nell'universo.
problema dell'orizzonte Problema che devono affrontare tutte le teorie cosmologiche: spiegare perch regioni di spazio che si trovano al di l dei rispettivi orizzonti cosmici hanno nondimeno caratteristiche quasi identiche.
problema della misura quantistica Incapacit di spiegare il meccanismo per cui le molteplici possibilit insite in una funzione d'onda danno origine a un unico risultato dopo una misurazione.
problema della piattezza Problema che devono affrontare tutte le teorie cosmologiche: spiegare la piattezza dello spazio (confermata dalle osservazioni astronomiche).
quark Particella elementare su cui agisce l'interazione nucleare forte; ne esistono sei variet: up, down, strange, charme, top, bottom.
radiazione cosmica di fondo Radiazione fossile elettromagnetica (composta da fotoni), residuo dei primi momenti di vita dell'universo, che pervade l'intero universo.
relativit generale Teoria di Einstein della gravit; prevede che spazio e tempo siano fusi insieme in uno spaziotempo curvo.
relativit ristretta Teoria di Einstein in cui lo spazio e il tempo non sono assoluti ma dipendono dal moto relativo dei singoli osservatori.
relazionismo Posizione che sostiene che il moto  sempre relativo e lo spazio non  assoluto.
rottura spontanea di simmetria Processo in cui una simmetria presente in un sistema viene improvvisamente a mancare; evento che si verifica alla formazione dell'oceano di Higgs.
scala termometrica Kelvin Scala in cui la temperatura  misurata rispetto alla pi bassa possibile in natura, lo zero assoluto, pari a circa -273 C.
seconda legge della termodinamica Legge secondo la quale l'entropia di un sistema fisico cresce in media nel tempo, a partire da qualunque istante si consideri.
sezione temporale L'intero spazio fotografato a un dato istante di tempo; una "fetta" dello spaziotempo.
simmetria Trasformazione di un sistema fisico che ne lascia inalterato l'aspetto (come ad esempio una rotazione di una sfera attorno al suo centro) o che non ha influenza sulle leggi che lo governano.
simmetria per inversione temporale Simmetria rispetto a trasformazioni che invertono la direzione del tempo (scambiando il futuro con il passato).  una propriet di cui godono tutte le leggi di natura che conosciamo: ogni fenomeno pu verificarsi anche "alla rovescia" dal punto di vista temporale.
simmetria (invarianza) per traslazione Simmetria rispetto a trasformazioni di traslazione. Propriet per cui le leggi fisiche sono ugualmente valide in ogni punto dello spazio.
simmetria (invarianza) rotazionale Simmetria rispetto alle rotazioni; il concetto si applica anche a leggi fisiche o equazioni.
somma sui cammini (integrale di Feynman) Procedimento di calcolo in meccanica quantistica, ideato da Richard Feynman, che si basa sul presupposto che le particelle viaggino da un punto all'altro (ad esempio, dalla sorgente al rivelatore) percorrendo tutti i cammini possibili che li congiungono.
spazio assoluto Secondo la visione newtoniana, lo spazio  immutabile e indipendente da ci che contiene.
spazio piatto Una delle possibili forme dell'universo, che ha curvatura nulla.
spaziotempo Ente geometrico formato dall'unione di spazio e tempo, introdotto dalla relativit ristretta.
spaziotempo assoluto L'ente geometrico nel quale, secondo la relativit ristretta, si fondono indissolubilmente lo spazio e il tempo;  immutabile e indipendente da ci che contiene.
spin Propriet quantistica delle particelle elementari che si comportano in modo analogo a quello di una trottola in rotazione (cio hanno un momento angolare intrinseco).
stringhe aperte Nella teoria delle stringhe filamenti di energia i cui estremi sono liberi.
stringhe chiuse Nella teoria delle stringhe filamenti di energia che hanno la forma di un laccio, di un anello deformabile.
supersimmetria Principio di simmetria in base al quale le leggi fisiche rimangono invariate rispetto a trasformazioni che scambiano particelle a spin intero (le mediatrici delle forze) con particelle a spin semintero (quelle materiali).
tempo di Planck Tempo impiegato dalla luce per percorrere la lunghezza di Planck, pari a 10-43 secondi; la nozione comune di tempo perde di significato per intervalli minori di questo.
teoria (standard) del big bang Teoria secondo cui l'universo subito dopo la sua nascita era molto caldo e in espansione.
teoria delle stringhe Teoria unificata che ipotizza che i costituenti fondamentali non siano particelle puntiformi, bens minuscoli filamenti unidimensionali in vibrazione (vedi teoria delle superstringhe); non prevede necessariamente la supersimmetria. Spesso tuttavia si usa come abbreviazione per indicare la teoria delle superstringhe.
teoria delle superstringhe Teoria che si basa sull'esistenza di filamenti energetici in vibrazione a forma di anello (stringhe chiuse) o di cordicella (stringhe aperte). Unifica la meccanica quantistica e la relativit generale e prevede la supersimmetria.
teoria di Kaluza-Klein Teoria che prevede che l'universo abbia pi di tre dimensioni spaziali.
teoria elettrodebole Teoria che unifica la forza elettromagnetica e quella nucleare debole nella interazione elettrodebole.
teoria unificata Teoria in grado di descrivere il comportamento della materia e di tutte le interazioni.
transizione di fase Cambiamento qualitativo in un sistema fisico che avviene quando la sua temperatura raggiunge un particolare valore critico.
universo osservabile Parte dell'universo compresa nel nostro orizzonte cosmico, cio abbastanza vicina perch la luce emessa dai corpi in essa contenuti sia gi giunta a noi.
valore di aspettazione non nullo del campo di Higgs sul vuoto Situazione in cui un campo di Higgs assume un valore diverso da zero nello spazio vuoto; un oceano di Higgs.
vuoto Stato di minima energia possibile.
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Riferimenti bibliografici e suggerimenti per ulteriori letture.
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Molti sono i libri che si occupano di spazio e tempo, a livello sia tecnico che divulgativo. Di seguito elenco alcuni testi, in genere adatti al lettore non specialista (con qualche eccezione), che mi sono stati utili e che penso possano costituire un buon punto di partenza per chi voglia approfondire le proprie conoscenze su diversi aspetti della questione.
Albert, David, Quantum Mechanics and Experience, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1994 [trad. it. Meccanica quantistica e senso comune, Adelphi, Milano 2000].
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Zeh, H. D., The Physical Basis of the Direction of Time, Springer, Berlin 2001.
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NOTE al testo.
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*I termini forza centrifuga e centripeta vengono talora usati quando si descrive il moto rotatorio, ma si tratta di pure e semplici etichette. Il nostro scopo  quello di capire perch il moto rotatorio generi una forza.  ?
*La posizione esatta di Mach in ordine alle questioni che verranno esaminate nelle pagine seguenti  tuttora oggetto di dibattito. Alcuni dei suoi scritti sono lievemente ambigui e determinate idee che gli vengono attribuite derivano da interpretazioni successive del suo pensiero. Dato che, a quanto sembra, egli era a conoscenza di tali interpretazioni e non si cur mai di rettificarle, taluni ritengono che Mach concordasse con esse. Per ragioni di correttezza, invito dunque il lettore a recepire affermazioni quali "Mach sosteneva" o "le idee machiane" nel senso di "secondo l'interpretazione prevalente delle ipotesi di Mach".  ?
*Amo molto gli esempi che hanno come protagonista un essere umano, perch ci fanno rapportare in modo immediato i fenomeni fisici esaminati alle nostre sensazioni. Per hanno un inconveniente di fondo: la nostra capacit di muovere volontariamente una parte del corpo rispetto a un'altra, o meglio, di usare una parte del corpo quale punto di riferimento per il movimento di un'altra (come nel caso di un soggetto che muova un braccio rispetto alla testa). Per evitare complicazioni, anche se irrilevanti, faccio riferimento al moto rotatorio uniforme, nel quale ogni parte del corpo gira insieme alle altre. Pertanto, quando affermo che il corpo ruota, immagino che, analogamente alle due pietre di Newton o a un pattinatore al termine del suo esercizio, ogni sua parte ruoti alla stessa velocit delle altre.  ?
*Come le pagine di un vero cartone animato, quelle illustrate nella figura 3.3 mostrano solo momenti scelti degli eventi. Potremmo a questo punto chiederci se il tempo sia discreto o infinitamente divisibile. Ritorneremo sulla questione in seguito. Per il momento supponiamo che sia infinitamente divisibile; di conseguenza, il nostro libro dovrebbe avere un numero infinito di pagine.  ?
* pi semplice immaginare la distorsione dello spazio ma bisogna tenere a mente che anche il tempo viene deformato da materia ed energia. Cos come la presenza di una distorsione nello spazio significa che questo  allungato o compresso (figura 3.10), la presenza di una distorsione nel tempo significa che il tempo  allungato o compresso. In altre parole, orologi che percepiscono spinte gravitazionali diverse (ad esempio, uno che si trovi sul Sole e un altro posto nello spazio vuoto) misurano il tempo a velocit diverse. Si  visto anzi che la distorsione dello spazio causata da corpi ordinari quali la Terra e il Sole (non i buchi neri)  molto meno accentuata di quella relativa al tempo15.  ?
*Questo vale anche nella relativit ristretta, caso particolare della relativit generale in cui il campo gravitazionale  zero: anche se ha valore nullo, un campo  sempre un campo, un oggetto che pu essere misurato e variato, e rappresenta quindi qualcosa rispetto a cui  possibile definire l'accelerazione.  ?
*Per semplificare il discorso, parlo qui di spin perfettamente correlati anche se, in base alla descrizione pi convenzionale, essi sono: qualsiasi dato rilevi un apparecchio, l'altro dispositivo ne registrer uno contrario. In anticorrelati osservanza alla descrizione tradizionale, immaginiamo di aver invertito le scritte "orario" e "antiorario" su uno degli strumenti.  ?
*Molti ricercatori, tra cui il sottoscritto, ritengono che la teoria di Bell e l'esperimento di Aspect stabiliscano con certezza che le correlazioni osservate tra particelle spazialmente lontane non possono essere spiegate dal ragionamento adottato da Scully, secondo cui le particelle avrebbero acquisito propriet correlate definite quando (in una fase precedente) si trovavano insieme. Altri hanno invece cercato di eludere o di sminuire questa sorprendente conclusione basata sulla non localit. Per quanto non ne condivida lo scetticismo, nelle note cito alcune opere divulgative che illustrano queste interpretazioni alternative15.  ?
*Scegliete un punto qualsiasi del filone e ricavate una fetta che lo includa e che intersechi la vostra fetta a un angolo minore di 45. Questa rappresenter la fetta di adesso, la realt, di un osservatore distante che, come Chewie, era inizialmente in stato di quiete rispetto a noi ma che ora si sta muovendo, sempre rispetto a noi, a una velocit inferiore a quella della luce. Questa fetta, per come  costruita, comprende il punto (arbitrario) del filone che avete scelto4.  ?
*C' un'eccezione a questo principio, rappresentata da una certa classe di particelle esotiche. Per quanto ci interessa in questo contesto, la questione  scarsamente rilevante e non intendo approfondirla. Chi desiderasse maggiori informazioni pu consultare la nota 2.  ?
*La simmetria per inversione temporale non ha nulla a che fare con il fatto che il tempo possa invertirsi o scorrere all'indietro: riguarda invece l'eventualit che gli eventi che accadono in un ordine temporale specifico possano accadere anche nell'ordine contrario. Una terminologia pi appropriata potrebbe essere inversione degli eventi o inversione dei processi o ancora inversione dell'ordine degli eventi, ma nel testo ci atterremo a quella convenzionale.  ?
*L'entropia  un altro caso in cui la terminologia complica le idee. Non preoccupatevi se vi ritrovate a ripetervi spesso che entropia bassa significa ordine elevato ed entropia elevata ordine scarso, ovvero grande disordine: capita anche a me.  ?
*Alle pagine 180-81 avevamo gi rilevato una differenza considerevole tra il numero di configurazioni ordinate e disordinate per soli 693 fogli stampati. Qui parliamo del comportamento di circa 1024 molecole di H2O, pertanto la differenza tra il numero di configurazioni ordinate e disordinate  incredibilmente elevata. Lo stesso ragionamento vale per tutti gli altri atomi e molecole presenti nel vostro corpo e nell'ambiente (nel cervello, nelle telecamere di sicurezza, nelle molecole d'aria e cos via). Per la precisione, in base alla spiegazione standard in cui vi fidate dei vostri ricordi, non solo i cubetti di ghiaccio semifusi si trovavano alle 22.00 in uno stato pi ordinato e meno probabile, ma anche tutto il resto: quando una telecamera riprende una sequenza di eventi, si ha un aumento marcato di entropia, a causa del calore e del rumore provocati dal processo di registrazione; in modo analogo, quando un cervello memorizza un fatto (anche se qui le nostre conoscenze sono meno sicure) si ha un chiaro incremento dell'entropia, perch anche il cervello produce calore. Pertanto, se confrontiamo l'entropia totale nel bar tra le 22.00 e le 22.30 nelle due situazioni, la prima in cui siete certi dei vostri ricordi, la seconda in cui le cose passano spontaneamente da uno stato iniziale di disordine a ci che vedete, ora, alle 22.30, notiamo una differenza enorme a livello entropico. La seconda situazione presenta in ogni fase un'entropia di gran lunga pi elevata rispetto alla prima e, quindi, dal punto di vista statistico,  molto pi probabile.  ?
*Strettamente correlato alla questione  il fatto che, se ci convincessimo che il mondo che vediamo proprio ora  nato dal disordine totale, in virt di questo stesso ragionamento (di cui ci potremmo avvalere in seguito, in qualsiasi momento) dovremmo abbandonare la convinzione che abbiamo attualmente e attribuire la nascita del mondo ordinato a una fluttuazione ancor pi recente. In quest'ottica, dunque, ogni momento successivo invalida le convinzioni del momento precedente, il che sembra un modo decisamente poco convincente di fornire una spiegazione del mondo che ci circonda.  ?
*Un buco nero di dimensione data contiene pi entropia di qualsiasi altro corpo della stessa dimensione.  ?
*Anche se sembra privilegiare l'aspetto corpuscolare, la somma sui cammini di Feynman non  che un'interpretazione particolare delle funzioni d'onda (dato che prevede pi cammini per una singola particella, ognuna delle quali d il suo contributo probabilistico), pertanto rientra nell'aspetto ondulatorio della teoria. Quando parliamo di un oggetto che si comporta come una particella, intendiamo sempre una particella convenzionale che si muove lungo una, e una sola, traiettoria.  ?
*Se questo paragrafo vi sembrasse troppo complesso, potete passare senza problemi a quello seguente. Vi invito per a provare a leggerlo, perch arriva a conclusioni che hanno dell'incredibile.  ?
*La meccanica quantistica  nota (a ragione) per non essere caratterizzata da regolarit e gradualit; come vedremo nei capitoli successivi, essa prevede un mondo microscopico turbolento e agitato. La causa di tale turbolenza  la natura probabilistica della funzione d'onda (grazie alla quale le cose possono cambiare improvvisamente anche in modo significativo), non una propriet della funzione d'onda stessa.  ?
*Superare il modello bidimensionale della superficie di un pallone per approdare a un modello tridimensionale  facile dal punto di vista matematico, ma  assai difficile da visualizzare, anche per gli scienziati di professione. Potreste essere indotti a pensare a una palla solida piena all'interno, come una da bowling (senza i buchi per le dita...). Questo per non  un modello accettabile, perch non tutti i suoi punti sono uguali tra loro: alcuni sono all'interno, altri sulla superficie, uno  il centro. Invece, un modello buono  quello di una superficie a tre dimensioni che circonda una regione sferica a quattro dimensioni. Se la cosa vi d le vertigini e vi  impossibile da visualizzare, fate ci che facciamo anche noi professionisti: tenetevi strette le semplificazioni bidimensionali, che mostrano praticamente tutto ci che  importante. Pi avanti vedremo un esempio non banale di spazio tridimensionale piatto che pu essere visualizzato.  ?
*A seconda che la velocit di espansione dell'universo stia aumentando o diminuendo, la luce emessa da queste galassie potrebbe incappare in un paradosso degno di Zenone: potrebbe dirigersi verso di noi alla velocit della luce, ma l'espansione potrebbe rendere le distanze troppo vaste, in modo da non farla giungere mai al nostro occhio10.  ?
*Cos come il videogioco  un esempio di spazio piatto e finito privo di bordo, esistono anche esempi di selle prive di bordo. Non ne parler qui, ma faccio notare che ci dimostra che tutte le tre possibili curvature (positiva, nulla, negativa) si possono realizzare in spazi finiti e privi di bordo. In linea di principio, un Magellano dello spazio potrebbe portare a termine una versione cosmica del suo viaggio attorno al mondo, qualunque sia la curvatura dell'universo.  ?
*Oggi la materia  pi abbondante della radiazione, dunque  meglio esprimere la densit critica in termini di massa: grammi per metri cubi. Anche se 10-23 g/m3 non sembra una gran cosa, ricordiamo che i metri cubi dell'universo sono tantissimi. Inoltre, pi procediamo a ritroso nel tempo, minore  lo spazio in cui la massa (e l'energia)  concentrata, e maggiore  la densit dell'universo.  ?
*Anche se la diminuzione della simmetria implica che  pi facile accorgersi di una manipolazione, il calore rilasciato nell'ambiente durante queste transizioni ci assicura che l'entropia totale (di tutto il sistema) continua a crescere.  ?
*Qui la terminologia non  particolarmente importante, ma vediamo un accenno del perch si usi questa dizione. L'avvallamento delle figure 9.1c e d ha forma circolare, quindi simmetrica, e tutti i suoi punti denotano un campo di Higgs di minore energia possibile. Ma quando la rana scivola lungo le pareti, raggiunge un punto particolare dell'avvallamento e quindi sceglie in modo "spontaneo" un valore del campo. Dopo questa scelta i punti dell'avvallamento non sono tutti sullo stesso piano, perch uno  stato selezionato, e quindi possiamo dire che c' stata "rottura" della simmetria. Ricapitolando la storia, il processo in cui un campo di Higgs diminuisce la sua energia e seleziona un particolare valore  una rottura spontanea della simmetria. Pi avanti vedremo un aspetto pi tangibile della riduzione della simmetria associata alla formazione di un oceano di Higgs7.  ?
*L'analogia con gli elastici aiuta a visualizzare il fenomeno ma non  del tutto corretta. La pressione negativa degli elastici impedisce l'aumento di dimensioni della scatola, mentre quella dell'inflatone causa l'espansione dello spazio.  una differenza importante che ci fa ritornare sul concetto di "pressione" in cosmologia, come visto a p. 329. La pressione negativa uniforme non , in s, la causa dell'espansione (sono le differenze di pressione a generare forze, e quindi una pressione uniforme, positiva o negativa che sia, non pu aver alcuna forza). Essa per, come la massa, genera un campo gravitazionale, che nel caso della pressione negativa  di tipo repulsivo: questo  il vero motore dell'espansione. Tutto ci, per, non inficia le nostre conclusioni.  ?
*La perdita di energia dei fotoni pu essere osservata direttamente: con il tempo le loro lunghezze d'onda aumentano ( il gi visto spostamento verso il rosso) e l'energia portata da un fotone  inversamente proporzionale alla sua lunghezza d'onda. La radiazione a microonde di fondo  soggetta a questo fenomeno da 14 miliardi di anni, il che spiega perch sia composta da microonde (cio abbia onde molto lunghe e "basse") e perch sia cos fredda. La materia  soggetta a un'analoga perdita di energia cinetica (quella legata al suo moto), ma l'energia totale delle particelle, quella definita a riposo, cio l'equivalente in energia delle loro masse, rimane costante.  ?
*Alcuni scienziati, tra cui Alan Guth e Eddie Farhi, hanno studiato l'ipotetica creazione di un nuovo universo in laboratorio tramite la sintesi di un corpuscolo di inflatone. A parte il fatto che non ci sono ancora conferme sperimentali dell'esistenza dell'inflatone, bisognerebbe trovare il modo di ammassare i dieci chili richiesti in un cubetto di circa 10-26 centimetri di lato, cio di ottenere densit dell'ordine di 1067 volte quella di un nucleo atomico. Ci  molto al di l delle nostre capacit tecniche, ora e forse anche in futuro.  ?
*Attenzione a non fare confusione con quanto visto negli ultimi paragrafi. L'espansione inflazionaria delle fluttuazioni quantistiche ha prodotto, s, una minuscola e inevitabile disomogeneit, pari a circa una parte su 100000. Ma questa impurit si  manifestata in uno spazio regolare e uniforme:  di quest'ultimo che stiamo cercando di spiegare l'origine.  ?
*Per semplicit considero qui solo campi in cui il valore nullo corrisponde al minimo livello di energia. Negli altri casi, come nei campi di Higgs, la discussione  la stessa, con la differenza che le fluttuazioni avvengono attorno a un valore non nullo. Se siete tentati di dire che vuoto significhi "privo di campi", leggete le note2.  ?
*Il resto del capitolo  dedicato alla scoperta della teoria delle superstringhe e alla descrizione dei suoi concetti fondamentali circa l'unificazione e la struttura dello spaziotempo. Chi ha letto L'universo elegante, soprattutto i capitoli dal VI all'VIII, dovrebbe gi conoscere questo materiale e pu tranquillamente saltare al capitolo successivo.  ?
*Ricordate quanto abbiamo detto nel capitolo IX: basta un piccolo magnete per vincere la forza di attrazione gravitazionale dell'intero pianeta Terra e sollevare uno spillo dal tavolo. La forza gravitazionale  circa pari a 10-42 volte quella elettromagnetica.  ?
*Noto qui che l'altra proposta di unificazione della relativit generale con la meccanica quantistica, la loop quantum gravity, parte da una supposizione simile alla prima di quelle viste sopra: lo spaziotempo a livello microscopico ha una struttura discreta. Ne riparleremo al capitolo XVI.  ?
*La relazione con la massa che emerge da un oceano di Higgs sar vista pi avanti nel capitolo.  ?
*Distinguendo tra destra e sinistra, senso orario e antiorario, sembra che il verme si possa muovere lungo quattro direzioni. Ma qui parliamo di direzioni indipendenti e quindi identifichiamo quelle che giacciono sullo stesso asse geometrico, come appunto destra e sinistra o oraria e antioraria.  ?
*Anticipo qui un fatto importante che vedremo meglio nel prossimo capitolo. Gli specialisti sanno da tempo che le equazioni utilizzate nel formalismo matematico della teoria delle stringhe sono in genere approssimate (quelle esatte si sono rivelate difficili da capire e da risolvere). Quasi tutti, per, erano convinti che le equazioni approssimate fossero sufficienti per determinare il numero di dimensioni extra richieste. Di recente, con grande sgomento di molti fisici, si  scoperto che in questo modo si tralasciava una dimensione e che quindi le dimensioni extra sono in realt sette. Come vedremo, ci non compromette la validit generale del modello visto in questo capitolo, ma lo situa all'interno di un altro quadro concettuale pi generale20.  ?
*Queste brane "appiccicose" si chiamano con pi precisione p-brane di Dirichlet, o per brevit D-p-brane. Qui useremo sempre il consueto p-brane.  ?
*Lisa Randall, della Harvard, e Raman Sundrum, della Johns Hopkins, hanno ipotizzato addirittura che la gravit possa essere vincolata come le altre tre forze, non da una brana ma da qualche dimensione extra che abbia un'opportuna curvatura; se cos fosse, le dimensioni invisibili potrebbero essere ancora pi grandi.  ?
*Uno di questi  il usa (Laser Interferometer Space Antenna), una versione spaziale del ligo che si serve di vari satelliti distanti milioni di chilometri tra loro al posto dei 4 chilometri di tubi dell'esperimento terrestre. Altri rivelatori che stanno facendo un lavoro fondamentale sono GE0600 (anglo-tedesco), virgo (italo-francese) e TAMA300 (giapponese).  ?
*Visto che il teletrasporto inizia con un oggetto in un certo posto e si conclude con lo stesso oggetto da un'altra parte, in questo paragrafo tratter le particelle come se queste avessero una posizione ben definita. Per essere preciso, dovrei ogni volta parlare di una "particella che ha un'alta probabilit di trovarsi in questo luogo", o magari di una "particella che ha il 99 per cento di possibilit di trovarsi in questo luogo"; per maggior concisione, per, qui user un linguaggio un po' impreciso.  ?
*Lo stato quantico di un insieme di particelle comprende anche le relazioni di ciascuna con tutte le altre. Se fossimo in grado di riprodurre esattamente lo stato di tutti i costituenti della DeLorean, saremmo sicuri che la ricostruzione avverrebbe conservando tutte le relazioni tra le parti; l'unica differenza sarebbe la loro posizione complessiva, da New York a Londra.  ?
*Un'altra limitazione di ordine pratico  data dalla fragilit del corpo umano: l'accelerazione necessaria per raggiungere simili velocit in tempi ragionevoli  ben al di l del sopportabile. Osserviamo, tra l'altro, che il rallentamento del tempo ci fornisce anche, almeno in linea di principio, una strategia per esplorare lo spazio profondo. Se un'astronave partisse dalla Terra in direzione della galassia di Andromeda e viaggiasse a una velocit pari al 99,999999999999999999 per cento di quella della luce, farebbe ritorno dopo quasi 6 milioni di anni terrestri. Ma a quella velocit il tempo sull'astronave sarebbe cos rallentato che i suoi occupanti sarebbero invecchiati di sole otto ore (naturalmente, se per assurdo fossero sopravvissuti alle accelerazioni necessarie per raggiungere quella velocit, fermarsi e ripartire).  ?
*Naturalmente dovrei dire il 1 gennaio 1966, ma non preoccupiamoci di questo dettaglio.  ?
*Per i dettagli sulla dualit si veda il capitolo X de L'universo elegante.  ?
*Se preferite la versione di Platone, grazie alla teoria del mondo-brana l'olografia si trasforma in modo da far tornare le ombre al loro posto originario. Se fossimo situati su una 3-brana che racchiude una regione con 4 dimensioni spaziali (cos come la buccia bidimensionale di una mela racchiude la regione tridimensionale della polpa), il principio olografico si riformulerebbe cos: le nostre percezioni tridimensionali sono le ombre degli eventi quadridimensionali che avvengono nella regione spaziale racchiusa dalla nostra brana.  ?
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NOTE E RIMANDI.
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(1) Lord Kelvin fu citato dal fisico Albert Michelson durante il discorso tenuto nel 1894 all'inaugurazione del Ryerson Laboratory dell'Universit di Chicago (cfr. D. Kleppner, in "Physics Today", novembre 1998).
(2) W. T. Kelvin, Nineteenth Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light, in "Philosophical Magazine", serie VI, II (1901), pp. 1-40 [trad. it. Nubi del diciannovesimo secolo sulla teoria dinamica del calore e della luce, in Id., Opere, a cura di E. Bellone, Utet, Torino 1971, pp. 784-838].
(3) A. Einstein, B. Podolsky e N. Rose, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, in "Physical Review", serie II, XLVII (1935), pp. 777-80 [trad. it. La descrizione quantica della realt pu essere considerata completa?, in A. Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri, Torino 1988, pp. 374-85].
(4) A. Eddington, The Nature of the Physical World, Cambridge University Press, Cambridge 1928 [trad. it. La natura del mondo fisico, Laterza, Roma-Bari 1987].
(5) Come vedremo meglio nella nota 2 del capitolo VI, in realt questo non  del tutto vero, perch vi sono casi di particelle abbastanza esotiche, quali i mesoni K o B, che dimostrano che le cosiddette forze nucleari deboli non trattano passato e futuro in modo del tutto simmetrico. Tuttavia, a parere mio e di molti colleghi che hanno valutato il problema, dato che tali particelle non contribuiscono a determinare le propriet dei corpi materiali della realt quotidiana non sono probabilmente rilevanti ai fini della freccia temporale (anche se, tengo a precisare, nessuno lo pu escludere con certezza). Pertanto, anche se tecnicamente si tratta di un'affermazione imprecisa, continuer a sostenere che le leggi della natura trattano passato e futuro in modo uguale, quanto meno in relazione al mistero della freccia temporale.
(6) T. Ferris, Coming of Age in the Milky Way, Anchor, New York 1989 [trad. it. L'avventura dell'universo. Da Aristotele alla teoria dei quanti e oltre, Leonardo, Milano 1990].
(7) I. Newton, Princip matematici della filosofia naturale, a cura di A. Palo, Utet, Torino 1965, pp. 112-13.
(8) Ibid., p. 106.
(9) Ibid., pp. 104-5.
(10) Ibid., p. 114.
(11) A. Einstein, premessa a Max Jammer, Concepts of Space: The Histories of Theories of Space in Physics, Dover, New York 1993 [trad. it. Storia del concetto di spazio, Feltrinelli, Milano 1974].
(12) A.R. Hall, Isaac Newton, Adventurer in Thought, Cambridge University Press, Cambridge 1992, p. 27.
(13) Ibid.
(14) Si veda H. G. Alexander (a cura di), The Leibniz-Clarke Correspondence, Manchester University Press, Manchester 1956.
(15) Considero Leibniz il portavoce della corrente di pensiero secondo cui lo spazio non esiste indipendentemente dai corpi che vi sono localizzati, anche se molti altri, tra cui Christiaan Huygens e il vescovo Berkeley, hanno sostenuto strenuamente tale posizione.
(16) Si veda ad esempio Jammer, Concepts of Space cit., p. 116 [trad. it. cit., p. 102].
(17) V. I. Lenin, Materializm i empiriokritizism: kriticeskie zametki ob odnoj reaktsionnoj filosofij, Zveno, Moskva 1909 [trad. it. Materialismo e empiriocriticismo, note critiche su una filosofia reazionaria, Rinascita, Roma 1953].
(18) Per chi ha buone basi matematiche, riporto qui le quattro equazioni:

dove E, B, ?, J, e0 e 0 indicano, rispettivamente, il campo elettrico, il campo magnetico, la densit di carica elettrica, la densit di corrente elettrica, la costante dielettrica del vuoto e la permeabilit del vuoto. Come potete osservare, le equazioni di Maxwell correlano il tasso di cambiamento dei campi elettromagnetici alla presenza di cariche e correnti elettriche. Non  difficile dimostrare che le equazioni implicano una velocit delle onde elettromagnetiche data da 1/ve00, che svolgendo i calcoli risulta essere la velocit della luce.
(19) Il ruolo che tali esperimenti hanno avuto nell'elaborazione della relativit ristretta  controverso. A p. 115 della sua biografia di Einstein, Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein (Oxford University Press, Oxford 1982) [trad. it. Sottile  il Signore: la scienza e la vita di Albert Einstein, Bollati Boringhieri, Torino 1986, p. 127], Abraham Pais sostiene, basandosi sulle affermazioni fatte dallo stesso Einstein negli ultimi anni di vita, che egli fosse a conoscenza dei risultati degli esperimenti di Michelson-Morey. Nella sua biografia di Einstein (si veda la bibliografia, pp. 217-20), Albrecht Flsing conferma tale asserzione, aggiungendo che Einstein conosceva anche i risultati negativi di esperimenti condotti in precedenza sull'etere, quali quelli di Armand Fizeau. Per Flsing e molti altri storici della scienza questi esperimenti hanno avuto, nella migliore delle ipotesi, un ruolo solo secondario nell'elaborazione delle teorie einsteiniane, basate per lo pi su amore per la simmetria e la semplicit e su un'intuizione fisica straordinaria.
(20) Affinch l'uomo possa vedere un oggetto, la luce deve giungere ai suoi occhi; affinch possa vedere la luce, questa deve percorrere il medesimo tragitto. Pertanto, quando affermo che Bart vede la luce che si allontana rapida, semplifico il concetto: immagino, in sostanza, che Bart abbia una schiera di aiutanti che si muovono tutti alla sua velocit ma che sono situati a varie distanze lungo la traiettoria seguita da lui e dalla luce. Gli aiutanti aggiornano Bart sulla distanza coperta dalla luce e sul tempo che questa ha impiegato a raggiungere tali punti lontani. In base a queste informazioni Bart riesce a calcolare a quale velocit la luce si allontana da lui.
(21) Le intuizioni di Einstein sullo spazio e sul tempo si possono dedurre in maniera elementare dai principi della relativit ristretta. Se desiderate approfondire l'argomento, vi suggerisco di leggere, ad esempio, il capitolo II de L'universo elegante (i dettagli matematici si trovano nelle note). In Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity (Freeman, New York 1992), Edwin Taylor e John Archibald Wheeler affrontano l'argomento in un modo pi tecnico ma estremamente chiaro.
(22) L'idea che il tempo si fermi alla velocit della luce  interessante, ma non bisogna attribuirle troppa importanza. La relativit ristretta dimostra che nessun oggetto materiale pu raggiungere la velocit della luce. Quanto pi veloce esso viaggia, tanto pi dobbiamo spingerlo affinch aumenti la sua velocit. Poco prima che raggiunga quella della luce, dovremmo imprimere al corpo una spinta infinita perch aumenti di velocit, il che  impossibile. Pertanto la prospettiva "senza tempo" del fotone resta limitata ai corpi privi di massa, di cui il fotone stesso  un esempio. La propriet di essere "senza tempo" quindi pu essere raggiunta solo da pochissimi tipi di particelle. Anche se pu essere un esercizio utile e interessante immaginare come sarebbe l'universo se si muovesse alla velocit della luce, dobbiamo in definitiva concentrarci sui corpi materiali, se vogliamo capire quanto la relativit ristretta incida sulla nostra esperienza del tempo.
(23) Si veda Pais, Subtle is the Lord cit., pp. 113-14 [trad. it. cit., p. 126].
(24) Per maggior precisione, definiamo la rotazione come quel fenomeno per cui l'acqua ruota se assume una forma concava e non ruota se non l'assume. Dal punto di vista machiano, in un universo vuoto non esiste il concetto di rotazione, perci la superficie dell'acqua sarebbe sempre piana o, per evitare problemi dovuti all'assenza di gravit, la corda che lega le due pietre non sarebbe in tensione. Nella relativit ristretta, viceversa, esiste il concetto di rotazione, anche in un universo vuoto, cosicch la superficie dell'acqua pu diventare concava e la corda che lega le due pietre si tende. In questo senso, dunque, la relativit ristretta contrasta con la teoria di Mach.
(25) Flsing, Albert Einstein cit., pp. 208-10.
(26) Il lettore esperto noter che, se scegliamo unit tali per cui la velocit della luce assume valore unitario (come un anno luce per anno o un secondo luce per secondo, in cui un anno luce corrisponde a circa diecimila miliardi di chilometri e un secondo luce a circa 300000 chilometri), la luce si muove nello spaziotempo lungo rette inclinate di 45, dato che su queste rette ogni unit di spazio  percorsa in un'unit di tempo. Poich nulla pu superare la velocit della luce, un qualsiasi corpo materiale deve muoversi lungo una retta il cui coefficiente angolare  pi basso; di conseguenza, la traiettoria che esso segue nello spaziotempo forma un angolo con l'asse delle ordinate (che nel nostro modello  la linea orizzontale che passa attraverso il centro del filone, da crosta a crosta) inferiore a 45. Einstein dimostr, inoltre, che per un osservatore che si muova alla velocit v le fette temporali hanno un'equazione (ipotizzando, per semplicit, una sola dimensione spaziale) data da tmoto = y(tfermo - (v/c2) xfermo), in cui y = (1 - v2/c2)-1/2 e c  la velocit della luce. In unit in cui c = 1, si ha v < 1; pertanto, una fetta temporale per l'osservatore in movimento, ossia il luogo dei punti dove tmoto assume un valore fisso,  (tfermo - vxfermo) = costante. Queste fette sono angolate rispetto alle fette temporali ferme (luogo dei punti in cui tfermo= costante) e, dato che v < 1, l'angolo tra di esse sar inferiore a 45.
(27) Per il lettore esperto: qui si intende che le geodetiche dello spaziotempo di Minkowski (le linee che minimizzano la distanza tra due punti nello spaziotempo) sono entit geometriche che non dipendono dalla scelta di coordinate o di un sistema di riferimento specifici. Sono caratteristiche geometriche intrinseche, assolute, dello spaziotempo. Usando la metrica standard di Minkowski, le geodetiche (di tipo tempo) sono linee rette, il cui angolo con l'asse temporale  inferiore a 45, dato che la velocit implicata  inferiore a quella della luce.
(28) C' un'altra questione importante su cui tutti gli osservatori, al di l del loro tipo di moto, concordano.  implicita in quanto abbiamo descritto, ma vale la pena chiarirla meglio. Se un evento ne causa un altro (tiro un sasso e rompo una finestra), tutti gli osservatori concordano sul fatto che la causa sia accaduta prima dell'effetto (tutti gli osservatori concordano sul fatto che abbia tirato il sasso prima che la finestra si rompesse). Per il lettore esperto, non  in effetti difficile capire tale concetto nell'ottica, pur schematica, dello spaziotempo illustrata nel testo. Se l'evento A causa l'evento B, una linea tracciata da A a B interseca ogni fetta temporale (le fette temporali di un osservatore in stato di quiete rispetto ad A) a un angolo che  maggiore di 45 (l'angolo tra gli assi spaziali, che si trovano su qualsiasi fetta temporale, e la linea tra A e B  maggiore di 45). Ad esempio, se A e B si verificano nella stessa posizione spaziale (l'elastico avvolto attorno al mio dito, A, fa s che questo diventi blu, B), la linea che collega A e B forma un angolo di 90 rispetto alle fette temporali. Se A e B si verificano in posizioni spaziali diverse, qualsiasi cosa si muova da A a B per esercitare la sua influenza (il sasso che parte dalla fionda e arriva alla finestra), lo fa a una velocit inferiore a quella della luce, il che significa che l'angolo differisce da 90 (l'angolo in presenza del quale non c' velocit) per un valore inferiore a 45: in altre parole, l'angolo rispetto alle fette temporali (gli assi spaziali)  maggiore di 45. Ora, come spiegato nella nota 9, le diverse fette temporali associate a un osservatore in movimento sono angolate rispetto a quelle di un osservatore in stato di quiete, ma l'angolo  sempre inferiore a 45 (dato che il moto relativo tra due osservatori materiali avviene a velocit sempre inferiori a quella della luce). Visto che l'angolo associato con eventi causalmente correlati  sempre maggiore di 45, le fette temporali di un osservatore, che viaggia necessariamente a una velocit inferiore a quella della luce, non possono incontrare dapprima l'effetto e poi la causa. Per tutti gli osservatori, la causa preceder l'effetto.
(29) La nozione che le cause precedono gli effetti (cfr. nota precedente) verrebbe smentita se le influenze potessero viaggiare a una velocit superiore a quella della luce.
(30) I. Newton, Princip matematici della filosofia naturale, a cura di A. Pala, Utet, Torino 1965, pp. 801-2.
(31) Dato che l'attrazione gravitazionale della Terra differisce da un punto all'altro, un osservatore esteso nello spazio, in caduta libera, pu percepire un'influenza gravitazionale residua. Per la precisione, se mentre cade rilascia due palle, una dalla mano destra e l'altra dalla sinistra, ognuna di esse cadr verso il centro della Terra lungo una traiettoria precisa. Nell'ottica dell'osservatore, lui cade dritto verso il centro della Terra, mentre la palla rilasciata dalla mano destra si muove verso il basso e lievemente verso sinistra, e quella rilasciata dalla mano sinistra verso il basso e lievemente verso destra. Con una misurazione attenta, l'osservatore vede quindi che la distanza tra le due palle diminuisce lentamente. Determinante per tale effetto , tuttavia, il fatto che le due palle siano state rilasciate in posizioni lievemente diverse nello spazio, cosicch anche le loro traiettorie di caduta libera verso il centro della terra risultano lievemente diverse. Di conseguenza, per formulare meglio l'idea einsteiniana, potremmo affermare che quanto pi piccola  l'estensione spaziale di un corpo, tanto pi efficacemente questo potr eliminare la gravit trovandosi in caduta libera. Pur rappresentando un'importante questione di principio, ai fini del nostro discorso il problema pu tuttavia essere tralasciato.
(32) Per una spiegazione pi dettagliata, ma pur sempre di carattere generale, della distorsione di spazio e tempo in base alla relativit generale, si veda ad esempio il capitolo II del mio L'universo elegante.
(33) Per il lettore esperto, le equazioni di Einstein sono G? = (8pG/c4) T?, il cui membro di sinistra descrive la curvatura dello spaziotempo tramite il tensore di Einstein e quello di destra esprime la distribuzione della materia e dell'energia nell'universo mediante il tensore energia-impulso.
(34) Citato in C. Misner, K. Thorne e J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman and Co., San Francisco 1973, pp. 544-45.
(35) Nel 1954 Einstein scrisse a un collega: "A dire il vero, non si dovrebbe pi parlare affatto del principio di Mach" (tratto da Pais, Subtle is the Lord cit., p. 288 [trad. it. cit., p. 311]).
(36) Come ricordato in precedenza, le generazioni successive hanno attribuito le idee in questione a Mach; nei suoi scritti egli non le espone esplicitamente in questo modo.
(37) Qui va precisato che i corpi distanti a tal punto che la loro luce, o influenza gravitazionale, non ha avuto il tempo di raggiungerci dall'inizio dell'universo non hanno alcun effetto sulla gravit che percepiamo.
(38) Il lettore esperto noter che si tratta di un'affermazione tecnicamente imprecisa, dato che esistono soluzioni non banali delle equazioni della relativit generale nel vuoto. Qui faccio uso semplicemente del fatto che la relativit ristretta pu essere concepita come un caso speciale della relativit generale in cui la gravit viene ignorata.
(39) Per amor del vero, va ricordato che alcuni fisici e filosofi non concordano con tale conclusione. Anche se Einstein ha rifiutato il principio di Mach, negli ultimi trent'anni quest'ultimo ha, per cos dire, assunto vita propria. Sono state suggerite diverse versioni e interpretazioni dell'idea machiana, e alcuni fisici hanno sostenuto che la relativit generale in realt recepisce fondamentalmente le ipotesi di Mach. Il punto  che esistono determinate forme che lo spaziotempo pu assumere (ad esempio lo spaziotempo piatto, infinito, di un universo vuoto) per cui questo non  valido. Forse, secondo costoro, qualsiasi spaziotempo che sia minimamente realistico, ossia occupato da stelle, galassie e quant'altro,  in accordo con il principio di Mach. Altri hanno invece riformulato tale principio in un'ottica in cui il problema non  pi il modo con cui i corpi, ad esempio le due pietre legate da una corda o il secchio pieno d'acqua, si comportino in un universo altrimenti vuoto, ma come le diverse fette temporali (le varie geometrie spaziali tridimensionali) si correlino l'un l'altra nel tempo. Si veda ad esempio J. Barbour e H. Pfister (a cura di), Mack's Principle: From Newton's Bucket to Quantum Gravity, Birkhuser, Berlin 1995, un testo che raccoglie vari saggi sull'argomento, e offre una panoramica illuminante delle attuali posizioni al riguardo. Il volume presenta i contributi di una quarantina di fisici e filosofi, la maggior parte dei quali (pi del 90 per cento) ritiene che la relativit generale non si conformi totalmente con il principio di Mach. Un altro testo che illustra l'argomento in modo eccellente e accessibile anche ai meno esperti, pur da una posizione spiccatamente favorevole a Mach,  J. Barbour, The End of Time: The Next Revolution in Physics, Oxford University Press, Oxford 1999 [trad. it. La fine del tempo: la rivoluzione fisica prossima ventura, Einaudi, Torino 2003].
(40) Per gli esperti:  interessante notare che secondo Einstein lo spaziotempo non esiste indipendentemente dalla sua metrica (lo strumento matematico che definisce le distanze nello spaziotempo); pertanto, se si dovesse eliminare tutto, metrica compresa, lo spaziotempo non sarebbe pi un'entit. Per "spaziotempo", allora, intender sempre una variet dotata di una metrica che risolve le equazioni di Einstein; di conseguenza, le conclusioni che abbiamo tratto sono, in termini matematici, che lo spaziotempo dotato di metrica  un ente reale.
(41) M. Jammer, Concepts of Space: The Histories of Theories of Space in Physics, Dover, New York 1993, p. XVII [trad. it. Storia del concetto di spazio, Feltrinelli, Milano 1974, pp. 11-12].
(42) Per maggior precisione, si tratta a quanto pare di una concezione medievale che affonda le sue radici nelle idee aristoteliche.
(43) Come vedremo in seguito, ci sono ambiti, ad esempio quelli che riguardano il big bang e i buchi neri, che presentano tuttora molti misteri, almeno in parte dovuti a condizioni estreme di dimensioni piccole e densit elevate, contro cui s'infrange la teoria einsteiniana. L'affermazione riguarda in questo caso tutti i contesti tranne quelli in condizioni estreme, nei quali le leggi conosciute non sono pi affidabili.
(44) Una delle prime persone a leggere questo libro era, per puro caso, esperta di voodoo e mi ha informato che in tali riti si immagina che qualcosa, ossia uno spirito, si sposti da posto all'altro per realizzare i propositi di chi li pratica. Il mio esempio di un processo non locale immaginario potrebbe, quindi, a seconda della vostra opinione sul voodoo, apparirvi fallace. L'idea di fondo  chiara, comunque.
(45) Per evitare confusioni, desidero sottolineare ancora una volta che, quando affermo che "l'universo  non locale" o "qualcosa che facciamo qui pu essere correlata con qualcosa laggi" non mi riferisco alla capacit di esercitare un controllo intenzionale istantaneo su qualcosa che  distante. Come risulter pi chiaro in seguito, l'effetto a cui mi riferisco si manifesta quale correlazione tra gli eventi che si svolgono in posizioni distanti (di solito sotto forma di correlazione tra i risultati delle misurazioni) tanto che nemmeno la luce avrebbe tempo sufficiente di viaggiare dall'una all'altra. Mi riferisco, in sostanza, a quelle che i fisici chiamano correlazioni non locali e che voi, di primo acchito, potreste non trovare particolarmente sorprendenti. Se qualcuno vi spedisse una scatola contenente un guanto solo, e mandasse l'altro a un vostro amico a migliaia di chilometri di distanza, esisterebbe una correlazione tra la "natura" del guanto che ognuno di voi vedrebbe all'apertura della scatola: se voi vedeste il guanto sinistro, il vostro amico vedrebbe il destro, e viceversa. In tali correlazioni non c', ovviamente, alcunch di misterioso. Ma come capiremo meglio in seguito, le correlazioni del mondo quantistico sembrano essere di carattere molto diverso:  come se aveste un paio di "guanti quantistici" in cui ognuno pu essere sia destro sia sinistro e assume una natura specifica solo in caso di un'osservazione o di un'interazione adeguate. La stranezza nasce perch, nonostante ogni guanto sembri scegliere la propria natura a caso quando viene osservato, i due guanti lavorano in coppia, pur a grande distanza: se uno sceglie di essere il guanto sinistro, l'altro sceglie di essere quello destro, e viceversa.
(46) La meccanica quantistica fa previsioni sul mondo microscopico che risultano in perfetto accordo con le osservazioni sperimentali. Su questo punto, il consenso  generale. Ci nonostante, come osservato prima, dato che gli aspetti specifici della meccanica quantistica differiscono in modo significativo da quelli dell'esperienza comune e che, di conseguenza, esistono diverse formulazioni matematiche della teoria (e di come questa colmi il divario tra il mondo microscopico dei fenomeni e quello macroscopico dei dati misurati), non c' consenso sull'interpretazione dei vari aspetti della teoria (e di vari dati sconcertanti che la teoria riesce comunque a spiegare matematicamente), compresi i problemi della non localit. In questo capitolo ho deciso di adottare un particolare punto di vista, quello che ritengo essere il pi convincente alla luce delle conoscenze teoriche attuali e dei risultati sperimentali, ma desidero sottolineare che non tutti lo condividono. In seguito accenner anche alle posizioni discordanti. Vi ricordo inoltre, come vedremo meglio tra poco, che gli esperimenti contraddicono la convinzione di Einstein secondo cui i dati possono essere spiegati solo in base a particelle che possiedono sempre propriet definite, seppur nascoste, senza far uso o menzione dell'entanglement non locale. Il fatto che tale visione sia stata smentita esclude, tuttavia, solo l'esistenza di un universo dotato di localit, non la possibilit che le particelle possiedano propriet nascoste.
(47) Per i lettori esperti: questa descrizione ha un aspetto potenzialmente fuorviante. Per i sistemi composti da pi particelle la funzione d'onda viene interpretata come sopra ma definita quale funzione nello spazio delle configurazioni delle particelle (per una singola particella lo spazio delle configurazioni  isomorfo allo spazio reale, ma per un sistema con N particelle ha 3N dimensioni). Ci  importante quando si analizza il problema della funzione d'onda (entit fisica reale o semplice strumento matematico?) dato che se si pensa che sia reale bisogna affrontare anche il problema della realt dello spazio delle configurazioni, il che rappresenterebbe un'interessante variazione sui temi discussi nei capitoli II e III. Nella teoria quantistica relativistica di campo, i campi possono essere definiti nelle consuete quattro dimensioni spaziotemporali, ma esistono anche formulazioni meno usate, basate sulle funzioni d'onda, i cosiddetti funzionali d'onda, definiti in uno spazio ancor pi astratto, lo spazio dei campi.
(48) Gli esperimenti a cui mi riferisco riguardano l'effetto fotoelettrico, in cui la luce che illumina vari metalli causa l'emissione di elettroni dalla loro superficie. Si  dimostrato che, quanto maggiore  l'intensit della luce, tanto maggiore  il numero di elettroni emessi. Inoltre, gli esperimenti hanno rivelato che l'energia di ogni elettrone emesso  determinata dal colore (cio dalla frequenza) della luce. Il che, come osserva Einstein,  facilmente comprensibile se il raggio di luce  composto da particelle, dato che una maggiore intensit luminosa equivale a pi particelle di luce (pi fotoni), e quanti pi fotoni vi sono, tanti pi elettroni verranno colpiti e scacciati dalla superficie metallica. Inoltre, la frequenza della luce determina l'energia di ogni fotone, e pertanto di ogni elettrone emesso, in perfetto accordo con i dati. Le propriet corpuscolari dei fotoni furono confermate da Arthur Compton nel 1923 mediante esperimenti basati sullo scattering elastico di elettroni e fotoni.
(49) Institut International de Physique Solvay, Rapport et discussions du 5me Conseil, Paris 1928, pp. 253 sgg.
(50) Citato in M. Born e A. Einstein, Scienza e vita. Lettere 1916-1955, Einaudi, Torino 1973, p. 230.
(51) H. Stapp, in "Nuovo Cimento", serie B, XL (1977), pp. 191-204.
(52) David Bohm fu una delle menti pi creative tra i fisici del Novecento. Nato in Pennsylvania nel 1917, fu studente di Robert Oppenheimer a Berkeley. Quand'era docente alla Princeton University, fu convocato dal Comitato per le attivit antiamericane del Congresso, ma si rifiut di testimoniare alle udienze. Lasci gli Stati Uniti e and a insegnare dapprima all'Universit di San Paolo, in Brasile, poi alla Technion in Israele e infine al Birkbeck College dell'Universit di Londra. Visse a Londra fino alla sua morte, avvenuta nel 1992.
(53) Certamente, purch si aspetti abbastanza a lungo, ci che viene effettuato a una particella pu, in linea di principio, influenzare l'altra: una particella potrebbe inviare un segnale che avverta l'altra che  stata sottoposta a misurazione, il quale potrebbe influenzare la particella ricevente. Tuttavia, dato che nessun segnale pu viaggiare a velocit superiore a quella della luce, questo tipo di influenza non  istantaneo. Il punto fondamentale ai fini della discussione  che, nel momento stesso in cui misuriamo lo spin di una particella lungo un determinato asse, conosciamo lo spin dell'altra particella lungo tale asse. Perci, qualsiasi tipo di comunicazione "standard" tra le particelle (a velocit maggiore o minore di quella della luce) non  rilevante.
(54) In questo paragrafo e in quello seguente mi ispiro all'approccio divulgativo adottato da David Mermin nei suoi splendidi lavori: Quantum Mysteries for Anyone, in "Journal of Philosophy", LXXXVIII (1981), pp. 397-408; Can You Help Your Team Tonight by Watching on TV?, in J. T. Chusing ed E. McMullin (a cura di), Philosophical Consequences of Quantum Theory: Reflections on Bell's Theorem, University of Notre Dame Press, Notre Dame (Ind.) 1989; Spooky Action at a Distance Mysteries of the Quantum Theory, in The Great Ideas Today, Encyclopaedia Britannica, New York 1988; tutti questi saggi sono raccolti in D. Mermin, Boojums All the Way Through, Cambridge University Press, Cambridge 1990. A chi fosse interessato ad approfondire l'argomento dal punto di vista tecnico, consiglio innanzitutto di leggere i lavori di Bell, molti dei quali sono raccolti in J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge 1993.
(55) Visto che il presupposto della localit  fondamentale per la tesi di EPR, si  cercato di confutare altri elementi del loro ragionamento per evitare la conclusione che l'universo ammetta aspetti non locali. Ad esempio, talora si sostiene che basta rinunciare al cosiddetto realismo, ossia all'idea che i corpi possiedano le propriet che risultano avere all'osservazione al di l del processo di misurazione. In questo contesto, tuttavia, una simile proposta non ha senso. Se la teoria EPR fosse stata confermata sperimentalmente, non ci sarebbe alcunch di misterioso in ordine alle correlazioni a lunga distanza della meccanica quantistica: queste non sarebbero, cio, pi sorprendenti delle classiche interazioni a lunga distanza (ad esempio il caso in cui voi trovate il guanto destro e il vostro amico lontano quello sinistro). Ma tale teoria  stato smentita dai risultati di Bell e Aspect. Ora, se rinunciamo al realismo (come accade nella meccanica quantistica standard) non eliminiamo in alcun modo l'incredibile stranezza delle correlazioni tra processi casuali molto distanti l'uno dall'altro. Quando mettiamo da parte il realismo, i guanti diventano, come indicato nella nota 4, "guanti quantistici". Rinunciare al realismo non rende le correlazioni non locali osservate meno strane.  vero che, se alla luce dei risultati di EPR, Bell e Aspect cerchiamo di conservare il realismo, come accade nella teoria di Bohm illustrata in seguito, il tipo di non localit di cui abbiamo bisogno per essere in accordo con i dati  ancor pi rigido e implica non solo correlazioni, ma anche interazioni, non locali. Molti fisici si sono opposti a tale alternativa e hanno quindi rinunciato al realismo.
(56) Si veda ad esempio M. Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, Freeman, New York 1994 [trad. it. Il quark e il giaguaro avventure nel semplice e nel complesso, Bollati Boringhieri, Torino 2000] e H. Price, Time's Arrow and Archimedes' Point, Oxford University Press, Oxford 1996.
(57) Per la relativit ristretta ci che viaggia da sempre a una velocit inferiore a quella della luce non pu superarla. Se tuttavia qualcosa viaggiasse da sempre a una velocit superiore a quella della luce, non sarebbe in contrasto con i suoi princip. Queste particelle ipotetiche, pi veloci della luce, sono chiamate tachioni. Gran parte dei fisici ritiene che non esistano, altri invece accarezzano l'idea che possano essere reali. Finora per, soprattutto a causa delle strane caratteristiche che simili particelle avrebbero in base alle equazioni della relativit ristretta, nessuno le ha trovate particolarmente utili, nemmeno a livello teorico. Nella ricerca moderna una teoria che dia origine ai tachioni viene di solito ritenuta poco interessante.
(58) Il lettore esperto noter che, in sostanza, la relativit speciale sostiene che le leggi fisiche debbano essere Lorentz-invarianti, ossia invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni SO(3,1) che agisce sullo spaziotempo di Minkowski. La conclusione , dunque, che la meccanica quantistica si concilierebbe con la relativit ristretta se potesse essere formulata in modo totalmente Lorentz-invariante. Ora, la meccanica quantistica relativistica e la teoria quantistica relativistica di campo hanno compiuto grandi passi in tale direzione, ma tuttora non c' pieno accordo sul fatto che abbiano affrontato il problema della misura quantistica in modo Lorentz-invariante. Nella teoria quantistica di campo, ad esempio,  semplice calcolare, in maniera del tutto Lorentz-invariante, le ampiezze di probabilit e le probabilit dei risultati di diversi esperimenti. Ma la teoria standard non descrive nemmeno il modo con cui un determinato risultato emerge dal gran numero di possibilit quantistiche, ossia ci che succede durante il processo di misura. La questione  particolarmente importante per l'entanglement, dato che il fenomeno si basa su quello che il ricercatore fa, sull'atto di misurare una delle propriet della particella correlata. Per una trattazione pi approfondita dell'argomento, si veda T. Maudlin, Quantum Non-locality and Relativity, Blackwell, Oxford 2002.
(59) Per gli esperti, illustro qui il calcolo. Presumiamo che gli assi lungo cui i rivelatori misurano lo spin siano quelli verticali e quelli a 120 in senso orario e in senso antiorario rispetto alla verticale (come dire mezzogiorno, le quattro e le otto su due orologi, uno per rivelatore, posti l'uno di fronte all'altro). Consideriamo, ai fini del nostro discorso, due elettroni emessi nello stesso punto che si dirigono verso i rivelatori nel cosiddetto stato di singoletto, ossia lo stato in cui lo spin totale  zero, cosicch se un elettrone si trova nello stato di spin-up, l'altro sar nello stato di spin-down lungo un determinato asse, e viceversa. Per maggiore semplicit, nel testo ho descritto la correlazione tra elettroni in modo che entrambi siano nello stato di spin-up o di spin-down; nella realt i loro spin sono orientati in direzioni diverse. Con riferimento a quanto descritto nel capitolo, potete sempre immaginare che i due rivelatori siano calibrati in modo opposto: in tal caso quello che il primo rivelatore identifica come spin-up per il secondo  spin-down. Un calcolo standard della meccanica quantistica elementare dimostra che, se l'angolo tra gli assi lungo i quali due rivelatori misurano gli spin degli elettroni  ?, allora la probabilit che essi presentino valori opposti di spin  cos2(?/2). Pertanto, se gli assi del rivelatore sono allineati (? = o), presentano sicuramente valori di spin opposti (in maniera analoga ai rivelatori considerati nel capitolo, che indicano sempre lo stesso valore quando sono posti nella stessa direzione); se sono orientati a +120 o a -120, la probabilit che presentino valori opposti di spin  cos2(120) = 1/4. Ora, se gli assi dei rivelatori sono fissati in modo casuale, 1/3 del tempo saranno orientati nella stessa direzione e 2/3 del tempo no. Pertanto, in tutti gli esperimenti, ci attendiamo di osservare spin opposti (1/3)(1) + (2/3)(1/4) = 1/2 del tempo, come indicato dai dati.
Potreste trovare strano che l'ipotesi di localit dia luogo a una correlazione di spin pi elevata (maggiore del 50 per cento) di quella individuata con la meccanica quantistica standard (esattamente il 50 per cento). Sarebbe logico pensare che l'entanglement della meccanica quantistica presenti una correlazione maggiore, e in effetti  cos. Potremmo considerare il problema in questo modo: con una correlazione del 50 per cento soltanto tra tutte le misurazioni, la meccanica quantistica indica una correlazione al 100 per cento per le misurazioni in cui gli assi dei rivelatori di destra e di sinistra sono orientati nella stessa direzione. Nell'universo locale di EPR  necessaria una correlazione maggiore del 55 per cento tra tutte le misurazioni per poter garantire un accordo del 100 per cento nel caso in cui si scelgano gli stessi assi. Con una certa approssimazione, dunque, in un universo locale il 50 per cento di correlazione tra tutte le misurazioni implica una correlazione inferiore al 100 per cento quando si scelgono gli stessi assi, ossia inferiore a quella che rileviamo nel nostro universo quantistico non locale.
(60) Si potrebbe pensare che un collasso istantaneo entri fin da subito in conflitto con il limite di velocit imposto dalla luce, e quindi con la relativit ristretta. Se le funzioni d'onda fossero simili a onde d'acqua, avremmo in mano un'argomentazione irrefutabile. Il fatto che il valore di una funzione d'onda diminuisca all'improvviso fino a zero in una vasta distesa sarebbe molto pi sconvolgente del caso in cui tutta l'acqua del Pacifico si calmasse all'istante e diventasse perfettamente piatta. Ma, obiettano i fautori della meccanica quantistica, le funzioni d'onda non sono come onde d'acqua. Anche se descrive la materia, una funzione d'onda non  un'entit materiale, e la barriera creata dalla velocit della luce si applica solo a oggetti materiali, corpi il cui moto pu essere visto, percepito e rilevato direttamente. Se la funzione d'onda di un elettrone si azzera in Andromeda, un fisico di tale galassia non riuscir, con una certezza del 100 per cento, a individuare l'elettrone. Niente nella galassia di Andromeda indica la variazione improvvisa della funzione d'onda associata con la misurazione esatta dell'elettrone avvenuta, ad esempio, a New York. Fintanto che l'elettrone non si sposter da un posto a un altro a una velocit maggiore di quella della luce, non si avr conflitto con la relativit ristretta. Come possiamo vedere, tutto ci che accade  che l'elettrone viene identificato a New York e non altrove. La sua velocit non  mai stata oggetto di discussione. Pertanto, se il collasso istantaneo della probabilit  un concetto che comporta lati oscuri e problemi (esaminati pi in dettaglio nel capitolo VII), non implica necessariamente un conflitto con la relativit ristretta.
(61) Per una trattazione pi ampia di tali idee, si veda Maudlin, Quantum Non-locality and Relativity cit.
(62) Per gli esperti: dall'equazione tmoto = y(tfermo - (v/c2) xfermo), vista nella nota 9 del capitolo III, scopriamo che l'elenco di Chewie in un determinato momento contiene eventi che gli osservatori sulla Terra sosterranno siano accaduti (v/c2)xTerra prima, dove xTerra  la distanza di Chewie dalla Terra stessa. Con ci si suppone che Chewie si stia allontanando dal nostro pianeta. Per un moto di avvicinamento v ha segno contrario, perci gli osservatori terrestri sosterrebbero che tali eventi siano accaduti (v/c2)xTerra anni dopo. Se v = 16 km/h e xTerra = 1010 anni luce, risulta che (v/c2)xTerra  circa 150 anni.
(63) Questa cifra, cos come quella fornita poco pi sotto,  vera al momento della pubblicazione del libro. Ma con il passare del tempo sulla Terra, in futuro sar lievemente imprecisa.
(64) Il lettore esperto noter che l'immagine del filone dello spaziotempo affettato ad angoli diversi  in sostanza equivalente ai diagrammi spaziotemporali che si insegnano nei corsi di relativit ristretta. In tali diagrammi tutto lo spazio tridimensionale in un determinato istante di tempo nel giudizio di un osservatore in quiete viene rappresentato da una linea orizzontale (o, in quelli pi complessi, da un piano orizzontale), e il tempo  rappresentato dall'asse verticale. Nella nostra figura ogni "fetta di pane", ossia ogni piano, rappresenta tutto lo spazio in un determinato istante, mentre l'asse che passa per il centro del filone  l'asse temporale. I diagrammi spaziotemporali sono un modo efficace per illustrare la questione dei differenti adesso.

Le linee continue chiare sono (iper)piani di simultaneit uguali (gli adesso) per osservatori in stato di quiete rispetto alla Terra (per semplificare, immaginiamo che questa non ruoti e non sia sottoposta ad accelerazione, dato che ai fini della nostra discussione questi problemi sono irrilevanti). Le linee tratteggiate chiare sono (iper)piani di simultaneit per osservatori che si allontanano dalla Terra, diciamo, alla velocit di 15 chilometri all'ora. Quando Chewie  in stato di quiete rispetto alla Terra, le linee continue chiare rappresentano i suoi adesso (e dato che voi vi trovate in stato di quiete sulla Terra per tutta la vicenda, esse indicano sempre i vostri adesso). La linea continua scura denota quella fetta in cui siete contenuti voi (il punto scuro a sinistra), nella Terra del XXI secolo, e lui (il punto scuro a destra), mentre siete entrambi seduti a leggere. Quando Chewie si allontana dalla Terra, le linee tratteggiate rappresentano i suoi adesso, e quella pi scura  la fetta che contiene Chewie, che si  appena alzato e ha iniziato a camminare, e John Wilkes Booth (il punto scuro pi in basso a sinistra). Va osservato che una delle fette temporali tratteggiate successive conterr Chewie che cammina (sempre che sia ancora in vita) e voi, sulla Terra del XXI secolo, seduti a leggere. Di conseguenza, quello che per voi  un unico momento apparir su due liste di Chewie: una lista prima e una dopo che ha iniziato a camminare. Ci dimostra per l'ennesima volta come il concetto semplice, intuitivo, di adesso, se esaminato con riferimento all'intero spazio, venga trasformato dalla relativit speciale in un concetto dalle caratteristiche alquanto insolite. Inoltre, queste liste non codificano la causalit: la causalit ordinaria (si veda la nota 11 del capitolo III) resta pienamente valida. Gli elenchi di Chewie "saltano" perch lui salta da un sistema di riferimento all'altro. Ma, scelte una volta per tutte coordinate spaziotemporali globali, ogni osservatore concorder con tutti gli altri in ordine a che cosa influenzi che cosa.
(65) Il lettore esperto avr notato che in questo caso suppongo che lo spaziotempo sia quello di Minkowski. Un'argomentazione simile in altre geometrie non porterebbe necessariamente a ricostruire l'intero spaziotempo.
(66) A. Einstein e M. Besso, Correspondance 1903-1955, a cura di P. Speziali, Hermann, Paris 1972 [trad. it. Corrispondenza con Michele Besso 1903-1955, a cura di G. Gembillo, Guida, Napoli 1995, p. 459].
(67) Qui si intende illustrare dal punto di vista qualitativo come un'esperienza effettuata proprio adesso, insieme ai ricordi che abbiamo proprio adesso, costituisca la base della consapevolezza di aver condotto una vita in cui abbiamo vissuto tali ricordi. Tuttavia, se il nostro corpo e il nostro cervello venissero posti nella stessa condizione in cui si trovano proprio adesso, avremmo la medesima consapevolezza di aver vissuto la vita testimoniata dai ricordi (presumendo che il fondamento di ogni esperienza risieda nello stato fisico del corpo e del cervello), anche se le esperienze in questione non si fossero mai verificate ma fossero state impresse artificialmente nel nostro sistema nervoso. Nella mia trattazione ho semplificato un po', supponendo che noi siamo in grado di percepire o sperimentare ci che accade in un singolo istante; in realt, il cervello ha bisogno di un certo tempo di elaborazione per poter riconoscere e interpretare gli stimoli che riceve. Pur essendo vero, ci non  tuttavia particolarmente importante ai fini del nostro discorso: si tratta di una complicazione affascinante, ma per lo pi irrilevante, che nasce quando si analizza il tempo attraverso l'esperienza umana. Come ho gi detto, gli esempi che hanno come protagonisti gli esseri umani mi piacciono molto, ma hanno qualche complicazione in pi, perch costringono a distinguere quegli aspetti del dibattito di natura pi biologica che fisica.
(68) Potreste chiedervi quale sia la relazione tra gli argomenti di questo capitolo e la descrizione dei corpi che si muovono nello spaziotempo alla velocit della luce, descritti nel capitolo III. Per il lettore digiuno di matematica la risposta , in termini semplicistici, che la storia di un corpo  rappresentata da una curva nello spaziotempo, ossia da una traiettoria nel filone spaziotemporale che evidenzia ogni luogo che il corpo ha occupato nei vari istanti (sullo stile della figura 5.1). Il concetto intuitivo di "movimento" nello spaziotempo pu, quindi, essere espresso senza ricorrere all'idea di "flusso", specificando semplicemente la traiettoria (invece di immaginare la traiettoria nello spazio che si forma davanti ai nostri occhi). La "velocit" associata a tale traiettoria , di conseguenza, la lunghezza della traiettoria stessa (da un determinato punto a un altro), divisa per la differenza di tempo segnata da un orologio, portato da qualcuno o qualcosa, tra i due punti scelti della traiettoria. Anche in questo caso non implichiamo un concetto di flusso temporale: osserviamo solo ci che segna l'orologio nei due punti in questione. La velocit calcolata in questo modo, per qualsiasi moto, risulta uguale alla velocit della luce. Con qualche formula si capisce subito perch. Nello spaziotempo di Minkowski la metrica  ds2 = c2dt2-dx2 (in cui dx2  la lunghezza euclidea dx12 + dx22 + dx32) mentre il tempo misurato dall'orologio (tempo "proprio")  dato da dt2 = ds2/c2. La velocit nello spaziotempo come sopra definita  quindi data matematicamente da ds/dt, il che equivale a c.
(69) R. Carnap, Autobiography, in The Philosophy of Rudolph Carnap, a cura di P. A. Schlipp, Library of Living Philosophers, Chicago 1963, p. 37.
(70) Va osservato che l'asimmetria in questione, cio la freccia temporale, riguarda l'ordine in cui gli eventi si verificano nel tempo. Potremmo anche studiare le asimmetrie del tempo: ad esempio, come vedremo nei capitoli successivi, secondo alcune teorie cosmologiche il tempo potrebbe aver un inizio ma non una fine. Si tratta, tuttavia, di questioni di ordine assai differente, che qui non tratteremo. Alla fine del capitolo vedremo per che l'asimmetria temporale degli eventi nel tempo si basa su condizioni specifiche risalenti agli inizi della storia dell'universo, e che quindi la freccia temporale  dovuta a ragioni cosmologiche.
(71) Per gli esperti, voglio qui approfondire il concetto di simmetria per inversione temporale e parlare di un'interessante eccezione, la cui rilevanza per gli argomenti qui considerati non  stata ancora completamente chiarita. Il modo pi semplice per esprimere matematicamente il concetto di simmetria per inversione temporale  questo: una legge fisica  simmetrica per inversione temporale se data una soluzione S(t) alle sue equazioni, anche S(-t) lo . Nella meccanica newtoniana, ad esempio, quando le forze dipendono solo dalle posizioni delle particelle, se x(t) = (x1(t), x2(t), ..., x3n(t)) sono le coordinate di n particelle nelle tre dimensioni spaziali, allora se x(t) soddisfa d2x(t)/dt2 = F(x(t)) anche x(-t) lo fa, ossia d2x(-t)/dt2 = F(x(-t)). Va osservato che x(-t) rappresenta il moto della particella che passa nelle stesse posizioni di x(t) ma in ordine inverso, a velocit invertite.
In termini pi generali, una serie di leggi fisiche ci fornisce un algoritmo per descrivere l'evoluzione di un sistema fisico da uno stato iniziale all'istante t0 fino all'istante t + t0. In concreto, questo algoritmo pu essere considerato come un'applicazione U(t), che riceve come input S(t0) e produce in output S(t +t0), ovvero: S(t + t0) = U(t)S(t0). Diciamo allora che le leggi che danno origine a U(t) sono simmetriche per inversione temporale se esiste un'applicazione T tale che U(-t) = T-1U(t)T. Cio, a parole, se manipolando in modo adeguato lo stato del sistema fisico in un determinato istante (mediante T), l'evoluzione in avanti di un tempo t in base alle leggi (pari a U(t)) equivale all'evoluzione all'indietro per lo stesso tempo (cio U(-t)). Ad esempio, se specifichiamo lo stato di un sistema di particelle in un determinato istante in base alle loro posizioni e velocit, allora T mantiene fisse tutte le posizioni delle particelle e inverte le velocit. Far evolvere una configurazione simile di particelle in avanti nel tempo per un intervallo t equivale a far evolvere la configurazione originaria delle particelle all'indietro nel tempo per lo stesso intervallo t. (Il termine T-1 annulla l'inversione di velocit cosicch, alla fine, non solo le posizioni delle particelle, ma anche le loro velocit, sono quelle che avrebbero dovuto essere t unit temporali prima).
Per alcune leggi l'operazione T  pi complessa di quanto non accada con la meccanica newtoniana. Ad esempio, se studiamo il moto di alcune particelle cariche in presenza di un campo elettromagnetico, l'inversione delle loro velocit non  sufficiente a far s che le equazioni generino un'evoluzione in cui le particelle ripercorrano la loro traiettoria. Allo scopo bisogna invertire anche la direzione del campo magnetico (cos da lasciare invariato anche il termine v X B della forza di Lorentz). In questo caso, dunque, l'operazione T dovr comprendere entrambe le trasformazioni. Il fatto che dobbiamo fare qualcosa di pi che invertire tutte le velocit delle particelle non inficia alcuna argomentazione trattata nel testo. Tutto ci che conta  che il moto della particella in una direzione sia in accordo tanto con le leggi fisiche quanto con il moto della particella stessa in direzione contraria. La necessit di invertire gli eventuali campi magnetici presenti non  particolarmente rilevante.
La situazione si complica per con le interazioni nucleari deboli, che sono descritte da una specifica teoria quantistica di campo (presentata brevemente nel capitolo IX). Un teorema generale dimostra che le teorie quantistiche di campo (se sono locali, unitarie e Lorentz-invarianti, come in questo caso) sono sempre simmetriche rispetto alle trasformazioni combinate di coniugazione di carica C (con cui si sostituiscono le particelle con le rispettive antiparticelle), parit P (con cui si invertono le posizioni rispetto all'origine) e inversione temporale T (con cui t viene sostituito da -t). Potremmo, di conseguenza, definire una trasformazione T come il prodotto CPT, ma se l'invarianza rispetto a T necessita anche della presenza della trasformazione CP, allora T non si pu pi interpretare semplicemente come l'operazione che inverte la traiettoria delle particelle (ad esempio, occorrerebbe sostituire le particelle con le loro antiparticelle, e quindi non sarebbero pi le particelle originarie a ripercorrere la loro traiettoria all'indietro). In alcune particolari situazioni sperimentali i fisici vengono messi letteralmente con le spalle al muro. Esistono tipi di particelle (i mesoni K e B), il cui repertorio comportamentale  invariante per CPT ma non solo per T. Ci  stato dimostrato indirettamente nel 1964 da James Cronin, Val fitch e collaboratori (per questa impresa Cronin e fitch hanno vinto il Nobel nel 1980): essi hanno, in sostanza, provato che i mesoni K violano la simmetria CP (il che garantisce che devono violare la simmetria T per non violare CPT). In tempi pi recenti, la violazione della simmetria T  stata dimostrata direttamente dall'esperimento CPLEAR al Cern e dall'esperimento KTEV al Fermilab. Con una certa approssimazione, potremmo dire che tali esperimenti hanno dimostrato che, se ci venisse presentato un film con questi mesoni come protagonisti, saremmo in grado di stabilire se questo  proiettato nella direzione temporale corretta "avanti" o in quella contraria "indietro". In altre parole, tali particelle distinguono tra passato e futuro. Ancora non sappiamo, per, se ci abbia rilevanza ai fini della freccia temporale che percepiamo nel contesto della vita quotidiana. Dopo tutto, si tratta di particelle particolari, che possono essere prodotte in collisioni ad alta energia per brevissimi momenti, non di elementi costitutivi dei corpi materiali pi noti. A molti fisici, compreso il sottoscritto, sembra improbabile che l'asimmetria di queste particelle possa contribuire a risolvere il mistero della freccia temporale, perci non approfondiremo la discussione. A essere onesti, per, nessuno lo sa con certezza.
(72) Noto a volte una certa riluttanza ad accettare l'idea che i frammenti del guscio potrebbero in teoria ricostituire l'uovo, ma questo fenomeno  permesso dalla simmetria per inversione temporale delle leggi naturali, illustrata con maggior precisione nella nota precedente. A livello microscopico, lo spaccarsi del guscio di un uovo  un processo fisico che interessa le diverse molecole che lo costituiscono. Il guscio si frantuma perch vari gruppi di molecole sono costretti a separarsi a causa dell'impatto subito dall'uovo. Se questi movimenti molecolari si verificassero al contrario, le molecole si riunirebbero, ricostituendo il guscio integro.
(73) Per non appesantire la trattazione ho volutamente tralasciato alcuni dati storici molto interessanti. Boltzmann modific in modo sostanziale le sue idee sull'entropia nel ventennio 1870-1890, grazie anche ai contatti con scienziati quali James Clerk Maxwell, Lord Kelvin, Josef Loschmidt, Josiah Willard Gibbs, Henri Poincar, S. H. Bunbury ed Ernst Zermelo. Egli riteneva inizialmente di poter dimostrare che l'entropia era, e sarebbe sempre stata, non decrescente per un sistema fisico isolato, e non che fosse soltanto molto improbabile che tale riduzione si verificasse. Ma le obiezioni sollevate da questi e altri fisici lo indussero in seguito a elaborare l'approccio statistico/probabilistico al problema, che ancor oggi utilizziamo.
(74) Immagino qui di usare l'edizione di Guerra e pace della Modern Library Classics, tradotta da Constance Garnett, con 1386 pagine.
(75) Per gli esperti: visto che i numeri possono essere molto alti, l'entropia viene in realt definita quale logaritmo del numero di possibili configurazioni, dettaglio questo che non ha grande importanza nel nostro discorso. A livello matematico  una questione importante, perch in questo modo l'entropia  additiva: l'entropia dell'unione di due sistemi  la somma delle loro rispettive entropie. Questo  vero perch il numero totale di configurazioni dell'unione dei due sistemi  dato dal prodotto del numero di configurazioni dei singoli sistemi (usando il fatto che il logaritmo del prodotto  pari alla somma dei logaritmi).
(76) Anche se, in linea di principio, siamo in grado prevedere dove atterrer ogni pagina, potreste obiettare che esiste un altro fattore che determina l'ordine finale delle pagine: il modo con cui le impiliamo una dopo l'altra. La questione non  rilevante ai fini del nostro discorso ma, in caso vi angustiasse, ipotizziamo di raccogliere le pagine una a una, iniziando da quella pi vicina, prendendo poi quella pi vicina a questa e cos via. (E potremmo ad esempio ipotizzare di misurare le distanze tra gli angoli pi vicini delle pagine).
(77) Riuscire a calcolare il moto anche di poche pagine con la precisione necessaria a prevederne l'ordine numerico (dopo aver usato un algoritmo per impilarle, come indicato nella nota precedente),  decisamente un'utopia. A seconda della flessibilit e del peso della carta, un calcolo relativamente "semplice" come questo potrebbe trascendere le nostre attuali capacit computazionali.
(78) Potreste obiettare che esiste una differenza sostanziale tra definire un concetto di entropia per l'ordine della pagine e definirne uno per un gruppo di molecole. In fondo, gli ordini delle pagine sono discreti: possiamo, cio, contarli, uno a uno, e il numero totale di possibilit, malgrado possa essere molto alto,  pur sempre finito. Il moto e la posizione anche di una sola molecola sono continui, pertanto (almeno secondo la fisica classica) esiste un numero infinito di possibilit. In che modo allora possiamo effettuare una conta precisa dei cambiamenti delle configurazioni molecolari? Ebbene,  stata trovata una soluzione soddisfacente al problema. Per chiarire meglio la questione, dovremmo per avvalerci di alcuni concetti matematici; chi ritenesse questa parte troppo complicata, pu proseguire la lettura del testo. I fisici descrivono un sistema classico, composto da pi particelle, ricorrendo allo spazio delle fasi, uno spazio a 6N dimensioni (dove N  il numero di particelle), in cui ogni punto indica tutte le posizioni e le velocit delle particelle (ognuna di queste posizioni richiede tre numeri, come del resto ogni velocit, il che fa salire le dimensioni a 6N). L'aspetto sostanziale  che lo spazio delle fasi pu essere diviso in regioni in modo tale che tutti i punti di una determinata regione corrispondono a configurazioni delle posizioni e delle velocit delle molecole che hanno le stesse propriet e lo stesso aspetto macroscopici. Se la configurazione delle molecole venisse cambiata da un punto di una regione a un altro punto della stessa regione, una valutazione macroscopica non permetterebbe di distinguerle. Ora, invece di contare i punti in una regione (procedura analoga al contare le configurazioni delle pagine di un libro) i fisici definiscono l'entropia in termini di volume di ogni regione nello spazio delle fasi. Un volume maggiore significa pi punti e quindi pi entropia. Il volume di una regione, anche se si tratta di una regione di uno spazio con pi dimensioni, si pu definire in maniera matematicamente rigorosa. ( necessario scegliere una misura; per il lettore esperto, ricordo che di solito si sceglie una misura uniforme su tutti i microstati compatibili con un determinato macrostato: in altre parole, ogni configurazione microscopica associata con una certa serie di propriet macroscopiche viene ritenuta ugualmente probabile).
(79) Ecco un modo in cui ci potrebbe accadere: se pochi giorni fa la CO2 era inizialmente nella bottiglia, allora sappiamo da quanto affermato in precedenza che se, proprio ora, invertissimo contemporaneamente la velocit di ogni molecola di CO2, nonch di ogni molecola e di ogni atomo che abbiano interagito con le molecole di CO2, e attendessimo lo stesso numero di giorni, le molecole si raggrupperebbero di nuovo nella bottiglia. Invertire tutte queste velocit non  per fattibile nella pratica, soprattutto con un processo che dovrebbe verificarsi spontaneamente. Si potrebbe per provare matematicamente che, se si attende abbastanza a lungo, le molecole di CO2 tornano tutte spontaneamente nella bottiglia. Un risultato ottenuto dal matematico francese Joseph Liouville nel XIX secolo pu essere usato per formulare il cosiddetto teorema di ricorrenza di Poincar. Secondo tale teorema, se aspettiamo abbastanza a lungo, un sistema con un'energia finita, confinato in un volume spaziale finito (come le molecole di CO2 in una stanza chiusa), torner in uno stato arbitrariamente vicino a quello iniziale (nella fattispecie, tutte le molecole di CO2 torneranno all'interno della bottiglia di Coca Cola.) Il problema , tuttavia, quanto bisogna attendere perch ci si verifichi. Per sistemi che hanno molti componenti, il teorema mostra che dovremmo attendere per un periodo che supera di gran lunga l'et dell'universo. Ci nonostante, l'idea che, disponendo di una pazienza e di una longevit infinite, si possa osservare qualsiasi sistema fisico spazialmente circoscritto che torna alla sua configurazione iniziale,  di per s alquanto interessante.
(80) Potremmo chiederci, a questo punto, perch l'acqua si trasformi in ghiaccio, dato che in tal modo le molecole di H2O diventano pi ordinate e raggiungono uno stato di entropia inferiore, non superiore. A grandi linee, quando l'acqua allo stato liquido si trasforma in ghiaccio solido libera energia nell'ambiente (processo opposto a quello che si verifica quando il ghiaccio si fonde, in cui l'energia viene sottratta all'ambiente) e aumenta l'entropia di quest'ultimo. A temperature ambiente abbastanza basse, ossia inferiori a o C, l'aumento dell'entropia ambientale  superiore alla diminuzione dell'entropia dell'acqua, pertanto il processo di congelamento risulta entropicamente favorito. Per questo con le basse temperature invernali assistiamo alla formazione del ghiaccio. Analogamente, quando nel nostro freezer si formano i cubetti di ghiaccio, la loro entropia diminuisce, ma il frigorifero pompa calore nell'ambiente e in questo modo si rileva un aumento netto dell'entropia. La risposta pi precisa a questo quesito (qui mi rivolgo al lettore esperto) fa uso della nozione di energia libera. A livello intuitivo,  la parte dell'energia di un sistema che pu essere sfruttata per produrre lavoro. Dal punto di vista matematico, l'energia libera F  definita da F = U - TS, dove U  l'energia totale, T, la temperatura e S l'entropia. Un sistema va incontro a una variazione spontanea se ci determina una diminuzione della sua energia libera. A basse temperature la riduzione di U associata con la trasformazione in ghiaccio  maggiore della diminuzione di S (maggiore dell'aumento di -TS), pertanto F diminuisce e l'evento si verifica. A temperature elevate (sopra o C) la trasformazione da ghiaccio ad acqua o a vapore  entropicamente favorita (l'aumento di S  maggiore delle variazioni di U), pertanto si verifica.
(81) L'idea che considerazioni entropiche potrebbero indurci a ritenere non affidabili i nostri ricordi si trova gi in C. F. von Weizscker in "Annalen der Physik", XXXVI (1939), ora in The Unity of Nature, Farrar, Straus and Giroux, New York 1980, pp. 138-46. Per una trattazione pi recente, si rimanda a D. Albert, Time and Chance, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 2000.
(82) In effetti, dato che le leggi della fisica non distinguono tra avanti e indietro nel tempo, la spiegazione del fatto che mezz'ora prima, alle 22.00, si hanno cubetti di ghiaccio pienamente formati sarebbe assurda tanto quanto la previsione che mezz'ora dopo, alle 23.00, i pezzi informi di ghiaccio si ricostituiscano in cubetti ben formati. Viceversa, la spiegazione del fatto di avere acqua allo stato liquido alle 22.00 che lentamente forma cubetti di ghiaccio alle 22.30  ragionevole tanto quanto prevedere che alle 23.00 questi si trasformeranno in acqua, un fenomeno noto e del tutto prevedibile. Dal punto di vista dell'osservazione effettuata alle 22.30, quest'ultima spiegazione rispetta la simmetria temporale ed  in accordo con le osservazioni successive.
(83) Il lettore particolarmente attento potrebbe pensare che io abbia alterato il senso del discorso quando ho specificato "all'inizio", dato che con tale espressione introduco una simmetria temporale. Quello che intendo  che (almeno) a un'estremit della dimensione temporale deve predominare una condizione specifica. Come chiariremo in seguito, questa  una condizione limite di bassa entropia; chiameremo dunque "passato" una direzione in cui tale condizione viene soddisfatta.
(84) L'idea che la freccia temporale richieda un passato a bassa entropia ha una lunga storia, che affonda le sue radici nel pensiero di Boltzmann e di altri ancora.  analizzata in modo dettagliato in H. Reichenbach, The Direction of Time, Dover Publications, Mineola (N.Y.) 1984; un'interessante discussione quantitativa si trova in R. Penrose, The Emperor's New Mind, Oxford University Press, Oxford 1989, pp. 317 sgg. [trad. it. La mente nuova dell'imperatore, Rizzoli, Milano 1992].
(85) Va ricordato che in questo capitolo non prendiamo in considerazione la meccanica quantistica. Come dimostrato da Stephen Hawking negli anni Settanta, quando si esaminano gli effetti quantistici risulta che i buchi neri lasciano fuoriuscire una certa quantit di radiazione, il che non cambia per il fatto che siano gli oggetti del cosmo che possiedono la massima entropia.
(86) Viene spontaneo chiedersi come facciamo a sapere che non ci sia un qualche "vincolo" (constraint) futuro in grado di influenzare l'entropia. In realt nessuno lo sa, e alcuni fisici hanno persino ipotizzato di effettuare alcuni esperimenti per individuare la possibile influenza che tale vincolo avrebbe su cose che possiamo osservare oggi. Un articolo interessante che valuta la possibile esistenza di vincoli passati e futuri sull'entropia  M. Gell-Mann e J. Hartle, Time Symmetry and Asymmetry in Quantum Mechanics and Quantum Cosmology, in J.J. Halliwell, J. Prez-Mercader e W. H. Zurek (a cura di), Physical Origins of Time Asymmetry, Cambridge University Press, Cambridge 1996. Anche le Parti IV e V dello stesso volume contengono interessanti articoli sull'argomento.
(87) Nell'intero capitolo abbiamo parlato della freccia temporale facendo riferimento al fatto che esiste un'asimmetria lungo l'asse temporale (l'asse temporale di qualsiasi osservatore) dello spaziotempo: un'ampia variet di sequenze di eventi  disposta in un determinato ordine lungo l'asse temporale, ma l'ordine inverso di tali eventi non si verifica mai, o molto raramente. Nel corso degli anni fisici e filosofi hanno diviso tali sequenze di eventi in sottocategorie, le cui asimmetrie temporali possono in linea di principio essere soggette a spiegazioni logiche a s stanti. Ad esempio, il calore passa dai corpi caldi a quelli pi freddi, non viceversa; le onde elettromagnetiche si propagano verso l'esterno da sorgenti quali le stelle e le lampadine, ma non sembrano mai convergervi; l'universo pare espandersi in modo uniforme, non contrarsi; noi ricordiamo il passato, non il futuro (sono, rispettivamente, le cosiddette frecce del tempo termodinamica, elettromagnetica, cosmologica e psicologica). Sono tutti fenomeni temporalmente asimmetrici anche se, in teoria, potrebbero acquisire l'asimmetria temporale da princip fisici diversi. A mio parere (e a detta di molti altri ma non di tutti) non si tratta di fenomeni sostanzialmente differenti, fatta forse eccezione per la freccia cosmologica, e sono spiegabili, in ultima analisi, attraverso i ragionamenti svolti nel capitolo. Ad esempio, perch la radiazione elettromagnetica si propaga per mezzo di onde che si espandono verso l'esterno e non di onde che si contraggono verso l'interno, anche se entrambi i tipi di onde sono soluzioni altrettanto valide delle equazioni di Maxwell? Ci si spiega con il fatto che il nostro universo presenta sorgenti ordinate, coerenti, a bassa entropia, di onde che si dirigono verso l'esterno (stelle e lampadine, per citarne due) e l'esistenza di queste fonti ordinate  dovuta all'ambiente ancor pi ordinato che caratterizzava l'inizio dell'universo. La freccia temporale psicologica  pi difficile da spiegare, dato che non sappiamo molto sulle basi microfisiche del pensiero umano, ma sono stati compiuti passi importanti nello studio della freccia temporale per quanto riguarda i computer: effettuare, completare e produrre il risultato di un calcolo  una sequenza computazionale di base le cui propriet entropiche sono ormai ben note (grazie al lavoro di Charles Bennett, Rolf Landauder e altri) e in perfetto accordo con la seconda legge della termodinamica. Pertanto, se il pensiero umano pu essere paragonato ai processi computazionali, si pu ricorrere a una spiegazione termodinamica simile. Va altres notato che l'asimmetria correlata con il fatto che l'universo si espande e non si contrae  associata, ma logicamente distinta, dalla freccia temporale di cui ci occupiamo. Se l'espansione dell'universo dovesse rallentare, fermarsi e quindi trasformarsi in contrazione, la freccia temporale sarebbe sempre orientata nella stessa direzione. I processi fisici (le uova che si rompono, le persone che invecchiano e cos via) si verificherebbero sempre nella direzione temporale consueta, anche se l'universo iniziasse a contrarsi.
(88) Per i lettori esperti: quando facciamo affermazioni probabilistiche simili, presupponiamo di avvalerci di una misura di probabilit particolare, ossia uniforme su tutti i microstati compatibili con quanto osserviamo proprio adesso. Esistono, naturalmente, altre misure utilizzabili allo scopo. David Albert, nel suo Time and Chance cit., ha suggerito di usare una misura di probabilit non solo uniforme su tutti i microstati compatibili con quanto osserviamo adesso, ma anche che soddisfi la cosiddetta ipotesi del passato, ossia il fatto che l'universo ha avuto origine in uno stato di bassa entropia. Se utilizziamo tale misura, scartiamo tutte le storie che non siano compatibili con il passato a bassa entropia, che  testimoniato da ricordi, materiale documentale e teorie cosmologiche. In quest'ottica non esiste alcun enigma probabilistico in ordine a un universo a bassa entropia: esso  iniziato in quel modo, per ipotesi, con probabilit 1. Rimane, tuttavia, il grande interrogativo del perch sia iniziato in quel modo, anche se non viene formulato in termini probabilistici.
(89) Potremmo essere tentati di sostenere che l'universo abbia avuto agli inizi una bassa entropia solo perch era molto pi piccolo di quanto non lo sia oggi e che, di conseguenza, alla stregua di un libro con poche pagine, consentisse un numero molto pi limitato di cambiamenti di configurazione dei suoi componenti. Questo per non risolve di per s il problema. Anche un universo piccolo pu presentare un'entropia elevata. Ad esempio, un destino possibile, seppur improbabile, del nostro universo  che l'espansione in corso si fermi, si inverta, e che esso quindi imploda, terminando nel cosiddetto big crunch. Come risulta dai calcoli effettuati, anche se le dimensioni dell'universo diminuissero durante la fase d'implosione, l'entropia continuerebbe ad aumentare: le dimensioni piccole, dunque, non si associano con sicurezza a una bassa entropia. Nel capitolo XI vedremo, tuttavia, che le piccole dimensioni iniziali dell'universo hanno avuto un ruolo importante nella formulazione della miglior teoria sinora elaborata a proposito della sua bassa entropia iniziale.
(90)  ormai ben noto che le equazioni della fisica classica non possono essere risolte con esattezza se si studia il moto di tre o pi corpi che interagiscono tra di loro. Pertanto, anche nella fisica classica qualsiasi previsione sul comportamento di un gran numero di particelle sar necessariamente approssimativa. Il punto , per, che non esiste un limite intrinseco a questa approssimazione. Se il mondo fosse governato dalla fisica classica, disponendo di computer sempre pi potenti e di dati iniziali su posizioni e velocit sempre pi precisi, ci avvicineremmo sempre pi alla risposta esatta.
(91) Alla fine del capitolo IV abbiamo visto che i risultati di Bell, Aspect e altri non escludono la possibilit che le particelle abbiano sempre posizioni e velocit definite, anche se non siamo in grado di determinare tali propriet contemporaneamente. Secondo l'ipotesi di Bohm, questa possibilit diventa addirittura una certezza. L'idea che un elettrone non abbia una posizione finch questa non viene misurata, seppur molto comune e radicata nel modo tradizionale di vedere la meccanica quantistica, non  dunque condivisa da tutti. Va per ricordato che, come vedremo nel seguito del capitolo, nella versione di Bohm le particelle sono "accompagnate" da funzioni d'onda. In altre parole, la teoria di Bohm parla di particelle e onde, mentre l'interpretazione standard si basa su una complementarit che potrebbe essere esemplificata come particelle oppure onde. Di conseguenza,  sempre vera la conclusione a cui giungiamo: la descrizione quantistica del passato sarebbe assolutamente incompleta se parlassimo solo di una particella che  passata per un unico punto dello spazio in ogni istante definito di tempo (come faremmo nella fisica classica). Nell'interpretazione tradizionale della meccanica quantistica dobbiamo anche tener conto del gran numero di posizioni che una particella avrebbe potuto occupare in ogni istante dato, mentre in quella di Bohm dobbiamo tener conto anche dell'onda "pilota", un oggetto non localizzato, bens esteso. (In realt l'onda pilota non  che la funzione d'onda della meccanica quantistica convenzionale, anche se nella teoria di Bohm  presentata in modo alquanto diverso). Per semplificare la trattazione qui mi atterr all'interpretazione tradizionale (la pi comune); nell'ultima parte del capitolo prender brevemente in considerazione la teoria di Bohm e altre ancora.
(92) Per un approfondimento rigoroso ma molto didattico dell'argomento, si veda R. P. Feynman e A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path integrals, McGraw-Hill Higher Education, Burr Ridge (Ill.) 1965.
(93) Potremmo essere tentati di ricorrere alle argomentazioni del capitolo III, in cui abbiamo visto che alla velocit della luce il tempo rallenta fino a fermarsi, per sostenere che dal punto di vista del fotone tutti i momenti sono lo stesso momento e che quindi esso "sa" come  predisposto il rivelatore quando passa attraverso il separatore. Tuttavia, gli esperimenti possono essere eseguiti con altri tipi di particelle, quali gli elettroni, che viaggiano a velocit inferiori a quelle della luce, e il risultato non cambia. Non  questa la giusta luce sotto cui vedere il fenomeno.
(94) L'esperimento descritto, e i dati sperimentali che l'hanno confermato, sono stati elaborati da Y. Kim, R. Yu, S. Kulik, Y. Shih e M. Scully, Delayed Choice Quantum Eraser, in "Physical Review Letter", LXXXIV (2000), n. 1, pp. 1-5.
(95) La meccanica quantistica pu anche essere presentata in una diversa versione, introdotta da Werner Heisenberg nel 1925, detta meccanica delle matrici. Per gli esperti: l'equazione di Schrdinger : H?(x,t) = ih(d?(x,t)/dt), in cui H  l'hamiltoniana, ? la funzione d'onda e h la costante di Planck.
(96) Il lettore esperto noter che ho omesso una questione importante: per l'esattezza,  la complessa coniugata della funzione d'onda che risolve la versione a tempo invertito dell'equazione di Schrdinger. In altre parole, l'operazione T descritta nella nota 2 del capitolo VI applicata a una funzione d'onda ?(x,t) la trasforma in ?*(x,-t). Questo dettaglio non ha particolare importanza nella nostra discussione.
(97) Bohm, in verit, riscopri e riformul un'idea dovuta al principe Louis de Broglie; per questa ragione spesso si parla della teoria di de Broglie-Bohm.
(98) Per gli esperti: l'interpretazione di Bohm  locale nello spazio delle configurazioni ma sicuramente non locale in quello reale. Le variazioni della funzione d'onda in un punto dello spazio esercitano un'influenza immediata sulle particelle situate in punti diversi, anche lontani.
(99) Per una descrizione molto chiara della teoria di Ghirardi-Rimini-Weber e della sua rilevanza ai fini dell'entanglement quantistico, si veda J. S. Bell, Are There Quantum Jumps?, in Id., Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge 1993.
(100) Alcuni fisici ritengono che le domande in questione siano irrilevanti sottoprodotti di antiche incomprensioni storiche. In quest'ottica la funzione d'onda  solo uno strumento teorico per effettuare previsioni (probabilistiche) e dovrebbe essere considerata reale solo in senso matematico (visione, questa, nota come "taci e calcola", dal momento che induce a usare la meccanica quantistica e le funzioni d'onda per effettuare previsioni senza riflettere sul loro vero significato e sulle conseguenze di ci che si fa). Secondo una concezione lievemente diversa le funzioni d'onda non vanno mai veramente incontro a collasso, che sembra verificarsi a causa della loro interazione con l'ambiente (tra poco approfondiremo meglio la questione). Personalmente sono convinto che il concetto di collasso della funzione d'onda verr infine abbandonato. Tuttavia, non voglio seguire l'invito a calcolare e tacere, dato che non sono disposto a rinunciare a capire che cosa accada nel mondo quando "nessuno guarda". Penso invece che la seconda idea sia la strada giusta da seguire, anche se va ulteriormente perfezionata dal punto di vista matematico. In sostanza, la misurazione causa qualcosa che  o  simile a o imita un collasso della funzione d'onda. In qualunque modo la si pensi, questo effetto va spiegato, non dato per scontato.
(101) Esistono altre questioni controverse correlate con l'interpretazione a molti mondi che vanno oltre la sua palese stravaganza. Ad esempio, definire il concetto di probabilit in un contesto che implica un numero infinito di copie di ciascun osservatore, le cui misurazioni si suppone siano soggette a tali probabilit, comporta non pochi problemi tecnici. Se un osservatore  veramente una delle tante copie, in che senso possiamo affermare che ha una determinata probabilit di rilevare questo o quel dato? Chi  veramente questo "osservatore"? Ogni sua copia rileva con probabilit 1 qualsiasi dato destinato allo specifico universo in cui si trova, pertanto nell'ipotesi dei molti mondi l'intera ottica probabilistica deve essere esaminata con grande attenzione. Inoltre, su un piano pi tecnico, il lettore esperto noter che, a seconda della precisione con cui si definiscono i molti mondi, potr essere necessario individuare una base di autovettori particolare. Ma in che modo individuarla? La questione  stata a lungo dibattuta senza che si sia arrivati a una risposta universalmente accettata. L'introduzione della decoerenza, che vedremo tra poco, ha chiarito molti aspetti di tali problemi e permesso di comprendere meglio la questione della scelta della base di autovettori.
(102) La teoria di Bohm, o meglio di de Broglie-Bohm, non ha mai goduto di ampio favore. Forse, come sottolineato da John Bell nel suo articolo The Impossible Pilot Wave, contenuto in Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics cit., ci si spiega con il fatto che n l'uno n l'altro erano particolarmente soddisfatti di ci che avevano scoperto. Ma, come rileva sempre Bell, questa formulazione elimina gran parte dell'incertezza e della soggettivit che caratterizzano quella standard. Se anche questa teoria si rivelasse sbagliata,  comunque importante sapere che le particelle possono avere posizioni e velocit definite in tutti i momenti (anche se non siamo in grado di misurarle) e comportarsi in accordo con le previsioni della meccanica quantistica standard, ossia con l'indeterminazione e quant'altro. Un'altra argomentazione contraria a Bohm si basa sul fatto che, in questo caso, la non localit  pi "rigida" di quella della meccanica quantistica standard. Con ci si intende che la teoria di Bohm recepisce fin dall'inizio le interazioni non locali (tra funzioni d'onda e particelle) quale elemento fondamentale della teoria, mentre nella meccanica quantistica la non localit  meno evidente e si manifesta solo nelle correlazioni non locali tra misurazioni ben distinte. Tuttavia, come sottolineano i fautori di questa teoria, il fatto che qualcosa sia nascosto non significa che sia meno presente; inoltre, la teoria standard  vaga in ordine al problema della misura quantistica, proprio l'ambito in cui la non localit si manifesta. Una volta che questo venisse definitivamente risolto, la non localit potrebbe non essere pi tanto nascosta. Altri invece pensano che ideare una versione relativistica della teoria di Bohm sia troppo complesso, malgrado i progressi compiuti in tale direzione (si veda ad esempio John Bell, Beables for Quantum field Theory, nella raccolta citata). Pare, quindi, opportuno tenere in considerazione questa teoria alternativa, anche solo quale deterrente nei confronti di possibili conclusioni affrettate sulle implicazioni della meccanica quantistica. Per il lettore esperto, la teoria di Bohm e i problemi di entanglement quantistico sono magistralmente illustrati in T. Maudlin, Quantum Non-locality and Relativity, Blackwell, Oxford 2002.
(103) Per una trattazione specialistica completa della freccia temporale e del ruolo della decoerenza, si veda in particolare H. D. Zeh, The Physical Basis of the Direction of Time, Springer, Heidelberg 2001.
(104) Per dare un'idea della velocit con cui si manifesta la decoerenza, ossia, della velocit con cui le influenze ambientali cancellano l'interferenza quantistica e trasformano le probabilit quantistiche nelle pi familiari probabilit classiche, citer qui alcuni esempi. I numeri sono approssimativi ma il senso del discorso  chiaro. La funzione d'onda di un granello di polvere sospeso nella nostra stanza, bombardato dalle molecole d'aria in movimento, va incontro a decoerenza in circa un miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo (10-36) di secondo. Se il granello venisse tenuto in un ambiente perfettamente vuoto e sottoposto solo a interazioni con la luce solare, la sua funzione d'onda andrebbe incontro a decoerenza un po' pi lentamente, in un millesimo di miliardesimo di miliardesimo (10-21) di secondo. Se il granello si trovasse nella profondit buia dello spazio vuoto e fosse soggetto solo alle interazioni con i fotoni della radiazione di fondo, la sua funzione d'onda andrebbe incontro a decoerenza in circa un milionesimo di secondo. Si tratta di valori molto piccoli, indicativi del fatto che, per corpi minuscoli come un granello di polvere, la decoerenza si verifica con grande rapidit. Per corpi pi grandi essa  ancora pi veloce. Non c' da stupirsi che, nonostante il nostro sia un universo quantistico, il mondo che ci circonda sembri essere classico. Si veda, ad esempio, E. Joos, Elements of Environmental Decoherence, in Ph. Blanchard, D. Giulini, E. Joos, C. Kiefer e I.-O. Stamatescu (a cura di), Decoherence: Theoretical, Experimental, and Conceptual Problems, Springer, Berlin 2000.
(105) Per essere precisi, l'uguaglianza tra le leggi nel Connecticut e quelle a New York  data dalla combinazione della simmetria traslazionale e di quella rotazionale. Il ginnasta che compie le sue evoluzioni a New York non solo si  spostato linearmente sulla superficie terrestre, ma probabilmente ha anche cambiato direzione (ad esempio, le parallele potrebbero essere disposte lungo l'asse nord-sud, invece che est-ovest).
(106) Si  soliti dire che leggi di Newton valgono per "osservatori inerziali", ma il modo in cui questi osservatori sono definiti  tautologico: gli osservatori inerziali sono quelli per cui valgono le leggi di Newton. Pensiamo alla questione in modo diverso: le leggi di Newton ci permettono di fissare l'attenzione su una classe di osservatori vasta e molto utile, quelli per cui valgono in modo quantitativamente esatto le leggi classiche. Questi, per definizione, sono gli osservatori inerziali. Dal punto di vista operativo, possiamo dire che su questi osservatori non agisce alcuna forza risultante, cio non percepiscono alcuna accelerazione. Per contro, la relativit generale si applica a tutti gli osservatori, indipendentemente dal loro stato di moto.
(107) Se vivessimo in un'epoca in cui nulla mutasse, non percepiremmo il fluire del tempo e anche le nostre funzioni corporali e cerebrali sarebbero arrestate. L'esistenza o meno in queste condizioni dello spaziotempo di figura 5.1  una questione retorica che  allo stesso tempo di difficile soluzione e del tutto irrilevante nella nostra esperienza quotidiana. Osserviamo che questa condizione fittizia di assenza di tempo  diversa da quella di massimo disordine, in cui l'entropia non pu pi crescere ma sono possibili cambiamenti a livello microscopico, come ad esempio spostamenti di singole molecole.
(108) La radiazione cosmica di fondo fu scoperta nel 1964 da Arno Penzias e Robert Wilson, che stavano collaudando presso il Bell Laboratory una grossa antenna per telecomunicazioni satellitari. I due ricercatori si imbatterono in un rumore di fondo impossibile da cancellare (anche dopo aver rimosso il "rumore bianco" causato dagli escrementi di uccelli sull'antenna); grazie alle intuizioni di Robert Dicke a Princeton, dei suoi studenti Peter Roll e David Wilkinson, e di Jim Peebles, si cap che l'antenna stava captando una radiazione a microonde originatasi nel big bang. (A queste conclusioni si giunse anche grazie agli importanti lavori precedenti di George Gamow, Ralph Alpher e Robert Herman). Come vedremo pi avanti, la radiazione di fondo ci d una fotografia precisa dell'universo all'et di circa 300000 anni. A quell'epoca le particelle cariche come gli elettroni e i protoni, che deviano il moto dei raggi luminosi, si combinarono a formare i primi atomi elettricamente neutri, consentendo cos alla luce di circolare liberamente. Da allora, quell'antichissima luce si  diffusa senza ostacoli e ora riempie l'universo con la sua soffusa radiazione a microonde.
(109) Il fenomeno qui descritto (su cui torneremo nel capitolo XI)  noto pi precisamente come spostamento verso il rosso (redshifi). Gli atomi pi comuni, come l'idrogeno o l'ossigeno, emettono radiazioni luminose a lunghezze ben note grazie a molti esperimenti di laboratorio. Quando questi atomi si trovano tra i costituenti di una galassia in fuga, noi vediamo la luce da loro emessa come "allungata", secondo lo stesso principio per cui il suono di una sirena che si allontana si deforma e diventa sempre meno acuto. Il rosso  la porzione di luce visibile con la lunghezza d'onda pi elevata, per cui questo effetto di "allungamento" dell'onda viene chiamato "spostamento verso il rosso". Questo effetto cresce al crescere della velocit, e quindi grazie alla misura dello spostamento delle lunghezze d'onda possiamo calcolare la velocit delle galassie da cui arriva la luce. (In realt questo spostamento  solo uno dei due possibili, quello analogo all'effetto Doppler; ve n' un altro tipo, dovuto alla gravit: i fotoni si "allungano" quando devono uscire da un campo gravitazionale).
(110) Per il lettore esperto: una particella di massa m, situata sulla superficie di una palla di raggio R e densit di massa ?, sente un'accelerazione d2R/dt2 data da (4p/3)R3G?/R2, sicch (1/R) d2R/dt2 = (4p/3)R3G?. Se identifichiamo formalmente R con il raggio dell'universo e ? con la densit di massa dell'universo, questa  l'equazione di Einstein per l'evoluzione dell'universo (in assenza di pressione).
(111) Si veda P. J. E. Peebles, Principles of Physical Cosmology, Princeton University Press, Princeton 1993, p. 81.

Nella didascalia si legge: "Ma chi sta gonfiando davvero questo pallone? Chi fa s che l'universo si espanda o si gonfi? Un Lambda! Non c' altra spiegazione" (traduzione di Koenraad Schalm). Il Lambda si riferisce alla costante cosmologica, che incontreremo nel capitolo X.
(112) Per essere precisi, vorrei far notare che nel nostro modello ogni monetina  identica alle altre, cosa che non si pu certo dire per le galassie. Il punto , per, che a grandissime scale (dell'ordine dei 100 milioni di anni luce) le differenze tra le varie galassie, in media, sono trascurabili; quindi quando studiamo una porzione di spazio molto ampia, le sue propriet sono molto simili a quelle di una qualunque altra porzione di analoghe dimensioni.
(113) Potreste anche arrivare sul bordo di un buco nero e rimanerci per un po', con i motori al massimo in retromarcia per evitare di essere trascinati dentro. Il forte campo gravitazionale di un buco nero distorce in modo significativo lo spaziotempo e quindi il vostro orologio rallenta in modo assai marcato, rispetto a un qualsiasi altro punto dell'universo. Anche in questo caso, la misura del tempo data dall'orologio  perfettamente valida, ma rimane un punto di vista del tutto individuale. Nel trattare dell'universo come un tutto  assai pi utile una nozione universalmente condivisa di tempo, come quello misurato dagli orologi solidali con l'espansione spaziale del cosmo, soggetti a forze gravitazionali molto meno estreme.
(114) Per il lettore esperto: la luce viaggia lungo le geodetiche di tipo nullo della metrica dello spaziotempo, che possiamo supporre essere ds2 = dt2 - a2(t)(dx2), dove dx2 = dx12 + dx22 + dx32 e le xi sono coordinate comoventi. Posto ds2 = 0 per una geodetica di tipo nullo, possiamo scrivere ?tt0 (dt/a(t)) per la distanza totale (misurata nel sistema comovente) che la luce emessa al tempo t ha percorso al tempo t0. Moltiplicando per un fattore di scala a(t0) al tempo t0, abbiamo la distanza fisica percorsa dalla luce in questo intervallo. Questo algoritmo pu essere usato in molte situazioni per calcolare la distanza massima percorribile in un dato intervallo, e quindi scoprire, ad esempio, se due punti dello spazio sono in correlazione causale. Si pu vedere che per un'espansione accelerata, anche per t0 grande a piacere, l'integrale  limitato, dunque la luce non pu raggiungere due punti comoventi arbitrariamente distanti: in un siffatto universo, ci sono luoghi che non possono comunicare tra loro, quindi esistono aree del cosmo che non possono essere in contatto con noi (si dice allora che sono oltre il nostro orizzonte cosmico).
(115) Matematici e fisici si servono di un metodo quantitativo per misurare la curvatura che  stato inventato nel XIX secolo, parte di quel bagaglio di tecniche che oggi va sotto il nome di geometria differenziale. Un modo per farsene un'idea  immaginare di disegnare un triangolo sulla superficie che stiamo studiando. Se la somma dei suoi angoli interni  180, come normalmente sul foglio, la superficie  piatta; se la somma  maggiore di 180 (come su una sfera) o minore di 1800 (come su una sella) allora la superficie  curva. Il tutto  illustrato in figura 8.6.
(116) Se incollate insieme i lati verticali opposti di un toro (cosa sensata, perch sono identificati: quando si raggiunge un lato si riappare immediatamente su quello opposto) ottenete un cilindro. Se fate lo stesso anche con i lati superiore e inferiore (che ora sono cerchi) ottenete una ciambella. La ciambella, dunque,  un altro modo di rappresentare un toro. Il problema  che in questo caso la superficie non sembra pi piatta. In realt lo : misurando la curvatura come spiegato nella nota 11, si vede che tutti i triangoli disegnati sulla ciambella continuano ad avere la somma degli angoli pari a 180. Ci sembra curva perch nel nostro modello cerchiamo di immergere una superficie bidimensionale nel nostro consueto mondo tridimensionale. Per evitare confusioni, in questo capitolo preferisco usare la versione "ovviamente" piatta dei tori a due e tre dimensioni.
(117) Osservate che non siamo stati molto rigorosi nel distinguere i concetti di forma e di curvatura.  vero che le curvature possibili per uno spazio del tutto simmetrico sono tre: positiva, nulla e negativa. Ma due spazi possono avere la stessa curvatura senza essere identici, come mostra il semplice esempio del videogioco e del piano infinito. La simmetria ci permette di ridurre a tre le possibili curvature dell'universo, ognuna delle quali, per, pu essere realizzata in pi modi, da spazi che differiscono per propriet che i matematici dicono globali.
(118) Fin qui ci siamo concentrati esclusivamente sulla curvatura dello spazio tridimensionale, cio delle sezioni spaziali nello spaziotempo. Anche se  difficile immaginarlo, per, in tutti e tre i casi possibili (positiva, nulla o negativa)  l'intero spaziotempo quadridimensionale a essere incurvato, e la curvatura cresce man mano che ci avviciniamo all'istante del big bang. Anzi: al momento del big bang la curvatura diventa cos grande che le equazioni di Einstein perdono di significato. Riprenderemo questa discussione in seguito.
(119) A temperature ancora pi elevate, esiste un quarto stato della materia, detto plasma, in cui gli atomi non esistono pi e si disgregano nei loro costituenti fondamentali.
(120) Esistono alcune strane sostanze, come i sali di Rochelle, che diventano meno ordinate alle alte temperature e pi ordinate a quelle basse, cio l'esatto contrario di quanto avviene normalmente.
(121) Una differenza tra campi di forza e campi di materia  espressa dal principio di esclusione di Pauli. Secondo questo principio, mentre un gran numero di particelle mediatrici di forza (come i fotoni) riesce ad aggregarsi in modo coerente e a produrre un campo misurabile nell'ambito della fisica classica (un campo evidente nel momento in cui accendete la luce in una stanza buia, ad esempio), le particelle di materia hanno delle limitazioni dovute alla meccanica quantistica e non riescono a essere cos coerenti e organizzate. (Pi precisamente, due particelle dello stesso tipo, come due elettroni, non possono occupare lo stesso stato, proibizione che non vale per i fotoni. Quindi i campi di materia, in genere, non hanno manifestazioni macroscopiche di tipo classico).
(122) Nella teoria quantistica di campo, tutte le particelle conosciute sono viste come lo stato eccitato di un campo sottostante, associato al tipo di particella medesima. I fotoni sono lo stato eccitato del campo del fotone, cio del campo elettromagnetico; un quark up  lo stato eccitato del campo del quark up; un elettrone  lo stato eccitato del campo dell'elettrone; e cos via. In questo modo, tutta la materia e tutte le forze possono essere descritte in modo omogeneo grazie al linguaggio della meccanica quantistica. Un problema che si  rivelato molto difficile da risolvere  quello della descrizione quantistica della gravit; ci torneremo nel capitolo XII.
(123) Oltre a Peter Higgs, bisogna ricordare altri fisici che diedero contributi fondamentali all'idea e ai suoi sviluppi teorici: tra i tanti, Thomas Kibble, Philip Anderson, Robert Brout e Franois Englert.
(124) Tenete presente che il valore del campo  dato dalla sua distanza dal centro della ciotola, quindi anche se l'energia  nulla nell'avvallamento (perch l'energia  data dall'altezza rispetto al fondo della ciotola) il campo  diverso da zero.
(125) Nell'esempio del testo il valore del campo di Higgs  dato dalla distanza dal centro della ciotola e quindi vi potreste chiedere com' possibile che punti diversi dell'avvallamento circolare (situati tutti alla stessa distanza dal centro) diano origine a valori diversi del campo. La risposta richiede qualche conoscenza matematica: i diversi punti equidistanti dal centro rappresentano valori di uguale modulo ma diversa fase (il campo di Higgs assume valori complessi).
(126) In linea di principio, la fisica prevede due tipi di massa: una corrisponde a quella vista nel testo, cio alla capacit di un corpo di resistere all'accelerazione, ed  a volte detta massa inerziale; la seconda misura la forza con cui un oggetto viene attratto dalla gravit di un particolare luogo (la Terra, ad esempio), detta massa gravitazionale. Sembra a prima vista che il campo di Higgs c'entri solo con la prima delle due, ma grazie al principio di equivalenza della relativit generale le forze causate da un moto accelerato e dal campo gravitazionale producono gli stessi effetti, il che dimostra l'equivalenza delle due masse. Il campo di Higgs serve a spiegare entrambe, visto che, come ha dimostrato Einstein, sono la stessa cosa.
(127) Ringrazio Raphael Kasper per avermi fatto notare che questa metafora  una variante di un'altra molto famosa: quella con cui il professor David Miller rispose nel 1993 al ministro della ricerca britannico William Waldegrave, che chiedeva alla comunit scientifica nazionale un motivo per cui investire denaro pubblico nella ricerca della particella di Higgs.
(128) Per il lettore esperto: i fotoni e i bosoni W e Z, nella teoria elettrodebole, sono descritti come campi a valori nella rappresentazione aggiunta del gruppo SU(2) X U(1) e quindi sono trasformati gli uni negli altri dall'azione di questo gruppo. Inoltre, le equazioni della teoria elettrodebole hanno una simmetria completa rispetto all'azione dello stesso gruppo:  in questo senso che affermiamo che le particelle di gauge sono tutte legate tra loro. Pi precisamente, nella teoria elettrodebole, il fotone  una particolare mescolanza del bosone di gauge del gruppo U(1) a fattore e di U(1) in quanto sottogruppo di SU(2), quindi  strettamente legato ai bosoni di gauge deboli. A causa della struttura di prodotto del gruppo di simmetria, per, i quattro bosoni (ci sono due W, con cariche elettriche opposte) non si mescolano in maniera completa sotto la sua azione. In un certo senso, le interazioni debole ed elettromagnetica fanno parte di un'unica struttura matematica, ma non in modo cos pieno come dovrebbe essere. Introducendo le interazioni forti, si deve aggiungere un fattore SU(3), ottenendo il gruppo SU(3) X SU(2) X U(1), che mostra ancor pi la mancanza di una vera unificazione. La necessit della grande unificazione, che vedremo tra poco, si basa anche su questa esigenza: ottenere un unico gruppo (di Lie) semisemplice, un gruppo che non si pu decomporre in fattori, che descrive le forze ad alte energie.
(129) Per il lettore esperto: la teoria di originaria di Georgi e Glashow era basata su SU(5), che contiene SU(3), il gruppo associato all'interazione forte, e anche il prodotto SU(2) X U(1), il gruppo della interazione elettrodebole. Da allora si  passati a studiare altri candidati potenziali al ruolo di gruppo di grande unificazione, come SO(10) ed E6.
(130) Come abbiamo gi visto, il big bang non  un evento che ha avuto luogo in un preciso punto all'interno di uno spazio preesistente, ed  per questo motivo che non ci siamo chiesti dove sia avvenuto. Questo inizio di capitolo deve molto a Alan Guth: si veda ad esempio il suo The Inflationary Universe, Perseus Books, Reading 1997, p. XIII.
(131) A volte con il termine "big bang" si denota l'evento accaduto al tempo zero che ha portato l'universo a esistere. Ma visto che le equazioni della relativit generale danno luogo a singolarit se il tempo viene posto uguale a zero, come vedremo nel prossimo capitolo, non siamo in grado di capire quale sia stata la vera natura di quell'evento. Questo  il senso della mia affermazione sul big bang che lascia fuori il bang. In questo capitolo ci limitiamo a esplorare zone in cui le equazioni hanno senso; grazie al buon comportamento matematico delle equazioni stesse, nella cosmologia inflazionaria si riesce a dimostrare l'esistenza di un'espansione rapida ed esplosiva, che naturalmente prendiamo come testimone del "botto" di cui la teoria del big bang non  in grado di parlare.  ovvio che questa strategia non ci porta a rispondere alla domanda sull'effettivo svolgersi degli eventi al tempo zero, sempre che un tale istante sia davvero esistito.
(132) A. Pais, Subtle is the Lord, Oxford University Press, Oxford 1982, p. 253 [trad. it. Sottile  il Signore. La scienza e la vita di Albert Einstein, Bollati Boringhieri, Torino 1991, p. 275].
(133) Per il lettore esperto: Einstein pass dall'equazione originaria Gpv = 8pTpv a quella corretta Gpv + ?gpv = 8pTpv, dove A denota il valore della costante cosmologica.
(134) Quando in questo contesto parlo di massa di un corpo, mi riferisco alla somma delle masse delle particelle di cui  costituito. Se un cubo contenesse, ad esempio, 1000 atomi d'oro, la sua massa sarebbe pari a 1000 volte quella di un singolo atomo. Questa definizione sarebbe piaciuta a Newton: secondo le sue leggi, un tale cubo peserebbe 1000 volte tanto il peso di un singolo atomo. Secondo Einstein, invece, il peso complessivo dipende anche dall'energia cinetica degli atomi (e da altri eventuali contributi all'energia totale); ci deriva dalla nota E = mc2 pi energia (E), indipendentemente dalla fonte, significa pi massa (m).
(135) La trattazione di questo punto rende un'idea di quale sia la realt fisica sottostante, ma non  del tutto precisa. La pressione esercitata dalla molla compressa certamente influenza il valore dell'attrazione gravitazionale cui  soggetta la scatola; ci perch questo stato di compressione aumenta l'energia totale del sistema, che per la relativit generale  quanto conta. Ma quel che cerco di sottolineare qui  che la pressione si comporta come la massa e l'energia: genera gravit anche direttamente, non solo grazie al suo contributo all'energia totale. La relativit generale ci dice che la pressione "fa gravitare". Notiamo anche che la gravit repulsiva di cui stiamo parlando  interna al campo gravitazionale di una regione di spazio in cui la pressione  negativa; in un caso simile, la pressione negativa genera un campo repulsivo solo all'interno della regione considerata.
(136) Dal punto di vista matematico, la costante cosmologica  espressa da un numero, che si denota in genere con la lettera ? (si veda la nota 4). Einstein scopr che le sue equazioni avevano senso sia che ? fosse negativo, sia che fosse positivo. Il caso di maggior interesse per la cosmologia moderna (e per le ultime osservazioni dirette, come vedremo)  quello in cui A  positivo, perch in questo caso d origine alla pressione negativa e alla gravit repulsiva, mentre un valore negativo di A porta alla consueta gravit attrattiva. Si noti anche che la pressione dovuta alla costante cosmologica  uniforme nello spazio, e quindi non esercita direttamente alcuna forza, perch sono solo le differenze di pressione a generare forze di pressione (si pensi all'esempio del timpano dell'orecchio in immersione). La forza esercitata dalla costante cosmologica, invece,  puramente gravitazionale.
(137) Tutti i magneti che conosciamo hanno un polo positivo e uno negativo. Le teorie di grande unificazione, invece, prevedono l'esistenza di particelle che si comportano come poli nord senza il sud o viceversa: sono i cosiddetti monopoli magnetici. I monopoli, la cui presenza avrebbe un effetto dirompente sulla cosmologia standard, non sono mai stati osservati.
(138) Guth e Tye mostrarono che un campo di Higgs superraffreddato si sarebbe potuto comportare come una costante cosmologica, cosa di cui si erano gi accorti Martinus Veltman e altri scienziati. Come Tye mi ha raccontato, i due furono costretti dal limite di pagine imposto dalla rivista su cui pubblicarono il loro articolo (le "Physical Review Letters") a cassare una frase finale in cui notavano che il loro modello avrebbe implicato una fase di espansione esponenziale. Tye mi disse anche che fu Guth a capire quali importanti conseguenze cosmologiche potesse avere questa espansione (come vedremo pi avanti).
La storia della nascita della cosmologia inflazionaria  abbastanza intricata. Qualche anno prima il fisico russo Alexeij Starobinskij aveva trovato un altro modo in cui si sarebbe potuta generare l'espansione, ma il suo lavoro fin su una rivista non molto letta in Occidente. Starobinskij, per, non si era reso conto che un'espansione cos rapida avrebbe risolto problemi fondamentali della cosmologia (come quelli dell'orizzonte e della piattezza, che vedremo tra poco) e forse anche per questo motivo le sue scoperte non causarono l'entusiasmo suscitato da quelle di Guth. Nel 1981 il fisico giapponese Katsuhiko Sato propose un'altra versione della cosmologia inflazionaria; ancora prima, nel 1978, altri due russi, Gennadij Cibisov e Andreij Linde, pensarono all'ipotesi dell'inflazione, ma si accorsero che a uno studio pi dettagliato essa mostrava una difficolt tecnica fondamentale (che vedremo alla nota 11), e perci non pubblicarono il loro lavoro.
Il lettore esperto non far fatica a capire come nasce, dal punto di vista quantitativo, l'espansione. Una delle equazioni di Einstein pu essere scritta come d2a/dt2/a = 4p/3 (? + 3p), dove a  il fattore di scala dell'universo (la sua "dimensione"), ?  la densit di energia e p quella di pressione. Se il membro destro dell'equazione  positivo, il fattore di scala aumenta sempre pi, perch accelera con il tempo. Un campo di Higgs a energia non zero ha densit di pressione uguale a quella di energia, cambiata di segno (lo stesso vale per la costante cosmologica), il che rende positivo il termine di destra.
(139) Questo salto  dovuto alle fluttuazioni quantistiche previste dal principio di indeterminazione (visto nel capitolo IV). Ne parler in modo pi esplicito nei prossimi due capitoli, ma qui voglio fare notare un semplice fatto. Il valore di un campo in un punto dello spazio e la sua velocit di cambiamento nello stesso punto giocano lo stesso ruolo della posizione e della velocit delle particelle. Anche in questo caso, non  possibile assegnare a un campo in qualsiasi punto un valore definito e una velocit di cambiamento definita: se cerchiamo di precisare l'uno, perdiamo certezza sull'altra, e quindi diventa pi probabile che il campo cambi valore da un momento all'altro.  questo che si intende quando si parla di fluttuazioni quantistiche del campo.
(140) L'apporto di Linde, Albrecht e Steinhardt fu fondamentale, perch il modello originale di Guth (che oggi a volte si etichetta come "vecchia inflazione") aveva un difetto fatale. Ricordiamo che il campo di Higgs superraffreddato (o inflatone, come lo chiameremo tra poco)  intrappolato nel picco della sua energia potenziale uniformemente nello spazio. Dobbiamo quindi chiederci se il rapido balzo quantistico dell'inflatone verso il livello di energia minima avvenga nello stesso momento in tutto lo spazio; la risposta  negativa. Come gi Guth si era reso conto, la transizione di fase avviene con un processo detto di nucleazione a bolle: l'inflatone scende al livello di energia nulla in un punto dello spazio e questo processo d origine a una bolla espansiva che si gonfia alla velocit della luce, che ha il potere di far scattare la transizione dell'inflatone nei diversi punti in cui man mano arriva. Molte di queste bolle, con centri disposti casualmente, avrebbero dato luogo attraverso un processo di coalescenza a un universo con un campo di inflatone di energia nulla ovunque. Il problema, come era chiaro allo stesso Guth,  che lo spazio al di fuori delle bolle rimane ancora permeato da un inflatone a energia non minima, e quindi in queste aree l'espansione inflazionaria continua rapidamente e separa le bolle l'una dall'altra. Non c' nessuna garanzia del fatto che le bolle in espansione alla fine si ritrovino a ricoprire tutto lo spazio. Inoltre, nell'ipotesi di Guth l'energia di campo dell'inflatone non va perduta durante la transizione, ma si converte in particelle di materia e di radiazione standard. Perch il modello sia compatibile con le osservazioni, per, questa conversione deve dare luogo a una distribuzione uniforme di materia ed energia nello spazio. Con il meccanismo a bolle invece, come fu rivelato dai calcoli dello stesso Guth e di Erick Weinberg (della Columbia University) e di Stephen Hawking, Ian Moss e John Steward (tutti di Cambridge), la distribuzione finale di materia ed energia risulta non uniforme. Il modello originale di Guth doveva essere migliorato in pi punti.
Questi seccanti problemi furono risolti dalla versione di Linde, Albrecht e Steinhardt, che oggi  detta "nuova inflazione". Cambiando la forma dell'energia potenziale (mostrata in figura 10.2) si riesce a far s che la transizione dell'inflatone al valore di energia nulla sia graduale e "liscia", senza che si debba invocare un salto quantico. Come mostrato dai nuovi calcoli, questa progressione pi dolce riesce a prolungare il periodo di espansione inflazionaria in modo tale che una sola bolla di transizione riesce tranquillamente a raggiungere ogni punto dell'intero universo osservabile; in questo modello, dunque, non dobbiamo preoccuparci della mancata uniformit. Ugualmente importante  il fatto che la conversione dell'energia dell'inflatone in materia e radiazione ordinaria non avvenga pi, in questa versione, grazie alla collisione delle varie bolle, ma per un processo simile all'attrito, in modo uniforme nello spazio. Possiamo pensare che mentre il campo scivolava gi dal suo picco per raggiungere la regione di energia nulla (ovunque nello spazio) "strisciava" contro, cio interagiva con, campi di materia pi familiari, cui cedeva la sua energia. La nuova inflazione, quindi, conserva tutta la valenza dell'idea originale di Guth, e risolve i problemi specifici che l'affliggevano.
Circa un anno dopo la formulazione della nuova teoria, Linde ebbe un'altra intuizione fondamentale. Perch i processi descritti dalla nuova inflazione accadano veramente, devono verificarsi due condizioni: l'energia potenziale dev'essere della forma giusta e il valore dell'inflatone deve trovarsi inizialmente molto in alto rispetto al livello di energia nulla (e per motivi un po' pi tecnici deve anche essere uniforme in una regione di spazio sufficientemente grande). Nulla impedisce all'universo di realizzare queste ipotesi, ma Linde scopr che c'era un metodo pi semplice per dare origine a un'espansione inflazionaria, anche con un'energia potenziale come quella della figura 9.1a e anche senza porre condizioni restrittive sul valore iniziale dell'inflatone. Ecco come. Nei primi momenti di vita dell'universo tutto  molto caotico; ad esempio, possiamo immaginare che il valore dell'inflatone oscilli in modo casuale e violento da un numero all'altro. In qualche punto dello spazio magari ha un valore molto piccolo e in qualche altro invece ha un valore molto grande. Nulla di particolare pu succedere nelle regioni in cui questo valore non  elevato; ma Linde cap che nei punti in cui il campo  maggiore di un certo valore calcolato (e basta che ci accada in un'area di dimensioni dell'ordine di 10-33 centimetri) avviene un fatto straordinario: si instaura una specie di attrito cosmico. Il campo, che se ne sta appollaiato sul suo alto picco come nella figura 9.1a, cerca di scendere e di raggiungere un valore di energia potenziale minore, ma il forte attrito dovuto all'intensit del campo fa s che questo scivolamento sia lento. Il valore dell'inflatone in queste regioni particolari, allora, si pu considerare praticamente costante, e quindi si pu affermare che in quelle stesse regioni vi sia una energia (quasi) costante e una pressione negativa (quasi) costante. Ormai sappiamo che queste sono le condizioni necessarie perch abbia inizio l'espansione inflazionaria. Quindi, senza, imporre una forma speciale al potenziale dell'inflatone e senza dover fissare un suo valore iniziale particolare, possiamo dedurre che a causa del comportamento caotico dell'universo neonato si sarebbe potuta comunque avere l'espansione. Linde, a ragione, ha definito questa sua teoria inflazione caotica; secondo molti esperti  la pi convincente realizzazione pratica del paradigma inflazionario.
(141) Chi conosce la storia della fisica recente si sar reso conto che la scoperta di Guth accese gli animi perch prometteva una soluzione a noti problemi cosmologici, come quelli dell'orizzonte e della piattezza che vedremo tra breve.
(142) Ci potremmo chiedere se gli altri campi di Higgs fin qui incontrati, come quello elettrodebole o quello di grande unificazione, siano in grado di avere un doppio ruolo: il loro proprio (visto al capitolo IX) e quello di catalizzatore dell'espansione inflazionaria. Questa ipotesi  stata contemplata in alcuni modelli, che per presentano molti problemi di natura tecnica. La spiegazione pi convincente  ancora quella che richiede un campo di Higgs apposito che giochi il ruolo dell'inflatone.
(143) Si veda la nota 11 di questo capitolo.
(144) Potete pensare all'orizzonte come a una colossale sfera immaginaria, con la Terra al centro, la cui superficie separa gli oggetti con cui abbiamo potuto comunicare (quelli all'interno della sfera) da quelli con cui non abbiamo potuto comunicare nel tempo trascorso dal big bang. Oggi il raggio di questa sfera  pari a circa 14 miliardi di anni luce; nel passato era molto pi piccola, perch il tempo disponibile per il viaggio della luce era minore. Si veda anche la nota 10 del capitolo VIII.
(145) A grandi linee questa  la soluzione del problema dell'orizzonte, ma per evitare confusioni vorrei sottolineare un punto fondamentale. Se una notte vi trovate con un vostro amico in un grande prato e vi mettete a giocherellare accendendo e spegnendo due torce elettriche, anche se iniziate entrambi a correre molto veloce in direzioni opposte sarete sempre in grado di scambiarvi segnali luminosi. Perch? Perch per evitare di ricevere il segnale che il vostro amico vi manda con la sua torcia (e viceversa) dovreste correre pi veloci della luce, il che  impossibile. Perch allora alcune regioni che si sono scambiate segnali nei primi momenti di vita dell'universo (e che quindi, ad esempio, hanno la stessa temperatura) oggi si trovano al di fuori dei rispettivi orizzonti? Se prendiamo per buona la storia delle torce elettriche, ci significa che si sono allontanate l'una dall'altra a una velocit maggiore di quella della luce. Ed  vero: la colossale spinta centrifuga dovuta alla gravit repulsiva ha spinto le varie regioni di spazio a sparpagliarsi con velocit molto maggiori di quella della luce. Questo non  in contraddizione con la relativit ristretta, perch il limite invalicabile che essa pone alle velocit vale per il moto nello spazio, non per il moto dovuto all'espansione dello spazio stesso. Secondo la cosmologia inflazionaria, dunque, per un breve periodo di tempo l'espansione  stata pi veloce della luce.
(146) Osserviamo che il valore numerico della densit critica diminuisce man mano che l'universo si espande. Il fatto , per, che se la vera densit di massa/energia dell'universo  uguale a quella critica in un istante, decrescer allo stesso modo e quindi si manterr uguale.
(147) Per i lettori pi esperti: durante la fase inflazionaria, il nostro orizzonte cosmico  rimasto fisso, mentre lo spazio si espandeva enormemente (come si vede prendendo una funzione esponenziale come fattore di scala nell'equazione della nota 10 del capitolo VIII). Ecco perch il nostro universo osservabile, nel modello inflazionario, non  che un minuscolo frammento nel cosmo colossale.
(148) Citato in R. Preston, first Light, Random House, New York 1996, p. 118.
(149) Per un'ottima introduzione divulgativa al tema della materia oscura, si veda L. Krauss, Quintessence: The Mistery of Missing Mass in the Universe, Basic Books, New York 2000 [trad. it. Il mistero della massa mancante nell'universo, Cortina, Milano 2000]
(150) I lettori esperti si saranno accorti che qui non faccio distinzioni tra i vari problemi che coinvolgono la massa oscura a scala galattica e cosmica; mi interessa soltanto trattare del suo contributo alla densit totale.
(151) Non tutti concordano sul fatto che questo sia ci che davvero accade in una supernova Ia (ringrazio D. Spergel per avermelo fatto notare), ma l'uniformit delle manifestazioni visibili del fenomeno, che  ci che ci interessa qui, poggia su solide basi sperimentali.
(152)  interessante notare che, ben prima della pubblicazione dei risultati sulle supernove, apparvero vari lavori in cui si ipotizzava che l'universo potesse avere una piccola costante cosmologica diversa da zero: in particolare quelli di Jim Peebles a Princeton, Lawrence Krauss alla Case Western, Michael Turner alla University of Chicago e Gary Steigman alla Ohio State. All'epoca quasi nessuno prese sul serio l'idea, ma oggi, con i dati sperimentali in mano, l'atteggiamento nei confronti di questa ipotesi  molto cambiato. Abbiamo visto all'inizio del capitolo che l'effetto di una costante cosmologica pu essere "simulato" da un campo di Higgs posto su un livello di energia non minima; anche se una vera e propria costante cosmologica sarebbe in accordo con i dati,  pi esatto dire che tutti questi ricercatori hanno avanzato l'ipotesi che lo spazio fosse riempito di qualcosa di simile, in grado comunque di esercitare una gravit repulsiva. (I campi di Higgs, per inciso, possono creare situazioni di gravit repulsiva anche per tempi molto pi lunghi di quelli richiesti dalla rapidissima espansione inflazionaria. Lo vedremo nel capitolo XIV, quando discuteremo se davvero abbiamo bisogno di una costante cosmologica o se possiamo cavarcela con qualche altra entit dall'azione simile). L'espressione "energia oscura"  spesso utilizzata per etichettare il misterioso ingrediente dell'universo, qualunque esso sia, che non  osservabile direttamente ma che causa una repulsione gravitazionale uniforme nello spazio.
(153) Anche se l'energia oscura  l'ipotesi pi diffusa come spiegazione dell'accelerazione espansiva, sono state proposte altre teorie al riguardo. Ad esempio, c' chi ha avanzato l'idea che la forza di gravit non si comporti pi come nel modello newtoniano o in quello einsteiniano se le distanze tra i corpi sono molto grandi, cio su scala cosmica. Altri ancora non sono convinti del fatto che i dati astronomici implichino un'accelerazione, e sono in attesa di misure pi precise.  importante riconoscere l'esistenza di queste posizioni alternative, che potrebbero salire alla ribalta se in futuro le osservazioni non concordassero con il modello prevalente. Oggi, comunque, la spiegazione da me proposta qui  considerata la pi convincente dalla maggioranza dei ricercatori.
(154) Tra questi pionieri nei primi anni Ottanta ricordiamo Stephen Hawking, Alexeij Starobinskij, Alan Guth, So-Young Pi, James Bardeen, Paul Steinhardt, Michael Turner, Viaceslav Mukhanov e Gennadij Cibisov.
(155) Anche dopo aver letto queste righe, potreste ancora avere dei dubbi sull'effettiva possibilit che una cos piccola quantit di massa/energia possa, grazie all'inflatone, dare luogo a tutto ci che esiste nell'universo. Da dove si crea tutta questa nuova massa? Come gi spiegato,  la pressione negativa dell'inflatone a "succhiare" energia dal campo gravitazionale, che dunque diventa sempre meno energetico. Il campo gravitazionale, infatti, ha una propriet nota fin dai tempi di Newton: la sua energia pu diventare negativa e decrescere arbitrariamente.  come una banca molto generosa che presta somme illimitate di denaro: la gravit, in sostanza,  una riserva inesauribile di energia, a cui l'inflatone attinge durante l'espansione dello spazio.
La massa e la forma precise del corpuscolo iniziale dipendono dal tipo di teoria cosmologica che si sceglie (soprattutto dalla forma del potenziale dell'inflatone). Nel testo ho ipotizzato che la densit iniziale di energia del campo fosse di 1082 grammi per centimetro cubo, in modo che un volume di (10-26)3 = 10-78 centimetri cubi avesse una massa di 10-78 X 1082 = 104 grammi, cio dieci chili. Sono valori tipici per un'ampia classe di teorie, ma qui servono solo a fare un esempio che chiarisca gli ordini di grandezza coinvolti. Per darvi un'idea del ventaglio di possibilit, noter qui che nel modello caotico di Andreij Linde (nota 11 del capitolo X) il corpuscolo iniziale  ancora pi piccolo, circa 10-33 centimetri (la cosiddetta lunghezza di Planck), e la densit ancora maggiore, 1094 grammi per centimetro cubo, cos che la massa richiesta  appena di 10-5 grammi (la cosiddetta massa di Planck). La particella iniziale che ha dato origine all'espansione, in questo caso, non peserebbe pi di un granello di polvere.
(156) Si veda P. Davies, Inflation and Time Asymmetry in the Universe, in "Nature", CCCI, p. 398; D. Page, Inflation does Not Explain Time Asymmetry, ivi, CCCIV, p. 39; P. Davies, Inflation in the Universe and Time Asymmetry, ivi, CCCXII, p. 524.
(157) Per capire questo punto essenziale  utile pensare di dividere l'entropia in due: una parte dovuta allo spaziotempo e alla gravit, e l'altra parte dovuta a tutto il resto. Devo precisare per che non si  ancora riusciti a trattare questo problema con un formalismo matematico adeguato, che identifichi con precisione l'entropia gravitazionale e la sappia quantificare. Ci non toglie che le nostre conclusioni siano esatte da un punto di vista qualitativo. Se la cosa vi turba, osservate che  possibile riscrivere la discussione appena fatta senza fare praticamente uso dell'entropia gravitazionale. Come abbiamo spiegato nel capitolo VI, quando la gravit attrattiva ha valori significativi la materia tende ad ammassarsi. Nel corso di questo processo, la sua energia potenziale gravitazionale si converte in energia cinetica, che a sua volta si trasforma in parte in radiazione emessa. Questa sequenza di eventi ha entropia crescente (le velocit medie pi elevate delle particelle fanno aumentare il volume del corrispondente spazio delle fasi; l'emissione di radiazione tramite interazione di materia produce un maggior numero di particelle: due processi che accrescono l'entropia complessiva). In questo modo, ci che chiamiamo "entropia gravitazionale" pu essere ribattezzata "entropia materiale dovuta alla forza gravitazionale". Quando affermiamo che l'entropia gravitazionale  bassa, vogliamo dire che la forza di gravit  in grado di generare molta entropia grazie alla condensazione di materia. Gli ammassi di materia, infatti, creano un campo gravitazionale non uniforme (curve e pieghe nello spaziotempo) che come ho detto nel testo ha entropia pi alta. Ma come spero sia chiaro ora, si pu pensare alla materia (e alla radiazione emessa), non al campo, come fonte di maggiore entropia quando  in una configurazione non omogenea. Ci  bene: come il lettore esperto avr notato, se pensiamo allo spaziotempo classico come a uno stato coerente di gravitoni, questo sar essenzialmente unico e quindi avr bassa entropia (soltanto una struttura granulare sufficientemente grossolana gli potrebbe conferire entropia). Come  spiegato in questa nota, comunque, ci non  necessario. D'altra parte, se la materia si aggrega in modo sufficiente a formare buchi neri, allora  possibile rendere le cose pi precise: l'area dell'orizzonte degli eventi di un buco nero (come vedremo nel capitolo XVI)  una misura della sua entropia, che in questo caso pu essere etichettata come "gravitazionale" senza ambiguit.
(158) Cos com' possibile sia che un uovo si rompa sia che i frammenti del guscio si rimettano assieme, le fluttuazioni quantistiche possono diventare estese disomogeneit (come abbiamo visto) oppure alcune disomogeneit abbastanza correlate si possono accoppiare per annullare l'espansione. Quindi, perch la cosmologia inflazionaria riesca a fornire un modello adeguato della freccia del tempo  necessario che le fluttuazioni quantistiche iniziali siano sufficientemente non correlate. Nel linguaggio di Boltzmann, tra tutte le fluttuazioni che potrebbero dare origine a condizioni buone per l'inflazione, prima o poi qualcuna lo far e dar inizio all'universo cos come lo conosciamo.
(159) Alcuni fisici pensano che la situazione sia pi rosea. Andreij Linde, ad esempio, sostiene nel suo modello di inflazione caotica (si veda la nota 11 del capitolo X) che l'universo sia nato da un corpuscolo di dimensioni dell'ordine della lunghezza di Planck contenente un inflatone di energia pari a quella di Planck. Sotto certe ipotesi, l'entropia di un campo uniforme  circa uguale a quella di qualsiasi altro campo, e quindi le condizioni richieste per la nascita dell'universo non sono restrittive. L'entropia di un tale corpuscolo  bassa, ed  dello stesso ordine di grandezza di quella che avrebbe potuto avere senza l'inflatone. L'espansione inflazionaria successiva crea in un attimo uno spazio immenso con entropia enormemente maggiore, ma che a causa della distribuzione uniforme di materia  molto minore di quanto avrebbe potuto essere. La freccia del tempo punta nella direzione in cui questo divario entropico viene colmato.
Questa visione ottimistica  la mia preferita, ma  bene esercitare molta cautela fino a quando non avremo capito meglio da dove sia saltato fuori l'inflatone. Il lettore esperto, ad esempio, noter che questo metodo avanza ipotesi favorevoli ma non giustificate sui modi altamente energetici (transplanckiani) del campo, modi che possono influenzare l'inizio dell'espansione inflazionaria e giocare un ruolo fondamentale nella formazione delle strutture.
(160) Qui ho in mente il fatto che le intensit relative delle tre forze non gravitazionali dipendono dalla temperatura e dall'energia dell'ambiente. Nel nostro spazio consueto, dove temperature ed energia sono basse, le tre forze hanno intensit diverse. Ma ci sono prove teoriche e sperimentali (seppur indirette) del fatto che quando le temperature raggiungono livelli molto alti, come nei primi istanti di vita dell'universo, le intensit sono tutte uguali, il che indica (anche se indirettamente) che l'unificazione  possibile a livello fondamentale. Per maggiori dettagli si veda L'universo elegante, capitolo VII.
(161) Una volta stabilito che un campo, come uno qualsiasi di quelli associati alle forze fondamentali,  un componente della natura, a quel punto dobbiamo dire che il tale campo esiste ovunque:  cucito dentro alla trama del cosmo. Non possiamo farlo sparire, proprio come non possiamo far sparire lo spazio. Per "annullarlo" in un punto dobbiamo far s che raggiunga il suo valore minimo di energia, che  zero per i campi associati alle quattro forze fondamentali, mentre  diverso da zero per i campi come l'inflatone o il campo di Higgs del modello standard (il valore preciso dipende dalla forma della sua energia potenziale, come visto nei capitoli IX e X). Come detto nel testo, per semplificare la trattazione ci occupiamo in modo esplicito solo dei campi del primo tipo, anche se le nostre conclusioni rimangono le stesse anche in caso di oscillazioni attorno a valori diversi dallo zero.
(162) Per il lettori esperti: in realt, il principio di indeterminazione stabilisce che le fluttuazioni di energia sono inversamente proporzionali alla risoluzione temporale delle misure, e quindi pi precise sono le misurazioni, maggiori sono le fluttuazioni.
(163) In questo esperimento, Lamoreaux ha misurato la forza di Casimir in un caso un po' diverso, in cui l'attrazione si esercitava tra una lente sferica e una lamina di quarzo. Pi di recente, Gianni Carugno, Roberto Onofrio e i loro collaboratori all'Universit di Padova hanno riprodotto l'esperimento originale, pi difficile tecnicamente, con due lamine parallele (la difficolt sta proprio nel farle rimanere parallele). Finora i loro risultati confermano le ipotesi di Casimir con un'incertezza del 15 per cento.
(164) Con il senno di poi, verrebbe da dire che se Einstein non avesse introdotto la costante cosmologica nel 1917, la meccanica quantistica avrebbe comunque avuto bisogno di una sua versione qualche decennio dopo. Come ricorderete, la costante cosmologica rappresentava un campo energetico che secondo Einstein permeava tutto lo spazio, la cui origine per era (ed  tuttora, secondo i moderni sostenitori della teoria) del tutto misteriosa. Abbiamo appena visto che la meccanica quantistica ci porta a riempire lo spazio di campi oscillanti, che, come possiamo vedere direttamente grazie alla forza di Casimir, pervadono l'universo di energia. In effetti, una delle sfide aperte per la fisica moderna  riuscire a dimostrare che tutte le fluttuazioni quantistiche dei campi combinate danno origine a un'energia totale (una costante cosmologica) compatibile con i dati sperimentali di cui abbiamo parlato nel capitolo X a proposito delle supernove. Finora nessuno ci  riuscito, e il calcolo si  dimostrato fuori della portata dell'attuale apparato teorico. Anzi, alcuni risultati ottenuti con metodi approssimati sono totalmente in disaccordo con i valori sperimentali, il che ci mostra che stiamo facendo qualche approssimazione illecita. Per molti ricercatori, trovare un modello teorico che spieghi il valore della costante cosmologica (sia esso zero, come si  pensato a lungo, o diverso da zero, come sembrano dirci la cosmologia inflazionaria e i dati sulle supernove)  la vera sfida aperta della fisica teorica oggi.
(165) In questo paragrafo mostro un modo di vedere il conflitto tra meccanica quantistica e relativit generale. Devo osservare, per, che altri problemi, magari meno tangibili ma potenzialmente importanti, nascono quando cerchiamo di combinare le due teorie. Uno dei pi sgradevoli insorge quando tentiamo di applicare alla gravit la procedura standard con cui una teoria classica non gravitazionale (come quella di Maxwell) viene trasformata in una quantistica. Come ha mostrato Bryce DeWitt, l'equazione che ne risulta (detta ora equazione di Wheeler-DeWitt)  priva della variabile tempo. Invece di avere una esplicita caratterizzazione matematica del fluire del tempo, come avviene in tutte le altre teorie fondamentali, ci ritroviamo a dover tener conto dell'evoluzione temporale attraverso una quantit che sappiamo trasformarsi in modo regolare (come ad esempio la densit dell'universo). A oggi, nessuno sa se questa quantizzazione della gravit sia corretta, anche se un nuovo formalismo da essa derivato, la loop quantum gravity, sembra dare buoni frutti (ne riparleremo al capitolo XVI). Non  chiaro, dunque, se l'assenza della variabile temporale sia la spia di qualcosa di molto profondo (il tempo  forse un fenomeno emergente?) o soltanto un problema tecnico. In questo capitolo, comunque, propongo un'altra strada per riconciliare relativit generale e meccanica quantistica: la teoria delle superstringhe.
(166)  in un certo senso improprio parlare del "centro" di un buco nero come se fosse un luogo fisico dello spazio. In parole povere, quando si attraversa l'orizzonte degli eventi, cio il bordo esterno, di un buco nero, spazio e tempo si scambiano i ruoli. Cos come  impossibile resistere all'"attrazione" del tempo, cio al suo fluire, allo stesso modo  impossibile evitare di essere attratti verso il "centro" del buco nero una volta superato il suo orizzonte degli eventi. L'analogia tra l'inesorabile fluire del tempo e l'irresistibile attrazione di un buco nero  perfettamente motivata dalle equazioni che descrivono il fenomeno. Per questo,  meglio pensare al centro di un buco nero come a un punto del tempo e non dello spazio. Visto che  impossibile andare oltre questo punto, si sarebbe tentati di pensare che il centro di un buco nero  un luogo dello spaziotempo in cui il tempo finisce. Potrebbe essere vero, ma poich le equazioni standard della relativit generale sono impotenti di fronte a fenomeni cos estremi, non abbiamo modo di verificarlo. Ovviamente, ci mostra che se trovassimo una buona descrizione dell'interno di un buco nero saremmo probabilmente in grado di capire molte cose sulla natura del tempo. Questo  uno degli obiettivi della teoria delle superstringhe.
(167) Con "universo osservabile", qui come nei precedenti capitoli, intendo quella porzione di universo con cui  possibile, in linea di principio, aver scambiato informazioni dal big bang in poi. In un universo infinito, come visto nel capitolo VIII, lo spazio non si riduce a un solo punto al momento del big bang. Certamente, la parte non osservabile diventa sempre pi piccola man mano che si va indietro nel tempo; ma anche se  difficile da immaginare, esistono porzioni del cosmo, infinitamente distanti, che rimarranno per sempre separate da noi, anche se la densit di materia ed energia continua a crescere.
(168) Leonard Susskind, intervista in The Elegant Universe, documentario di tre ore della serie nova andato in onda sulla PBS in due parti, il 28 ottobre e il 4 novembre 2003.
(169) La difficolt di trovare verifiche sperimentali per la teoria delle stringhe, per inciso,  sempre stata un grosso impedimento, che ha fornito materiale critico a molti scettici. Come vedremo pi avanti, per, negli ultimi anni si sono compiuti molti progressi in questa direzione; ci sono non poche speranze che alcuni prossimi esperimenti con acceleratori ad alte energie o effettuati nello spazio potranno fornire prove indiziarie a favore della validit della teoria, e magari, con un po' di fortuna, anche prove dirette.
(170) Anche se non ne ho parlato in modo esplicito, ricordo qui che per ogni particella conosciuta esiste una antiparticella, che ha massa uguale ma carica di gauge opposta. L'elettrone ha il positrone, il quark up ha una particella detta (con poca fantasia) antiquark up, e cos via.
(171) Come vedremo nel capitolo XIII, alcuni recenti risultati sembrano mostrare che le stringhe siano molto pi grandi della lunghezza di Planck, il che comporterebbe, tra l'altro, una maggiore facilit di effettuare prove sperimentali della teoria.
(172) L'esistenza degli atomi fu dedotta in principio grazie ad alcuni indizi indiretti (prima come ipotesi per spiegare le proporzioni in cui gli elementi chimici si combinano fra loro, poi come spiegazione del moto browniano); l'esistenza dei buchi neri fu confermata osservando il comportamento dei gas stellari che venivano da loro attratti (ovviamente non si pu "vedere" un buco nero).
(173) Anche una stringa con una vibrazione molto contenuta ha in s un po' di energia: come  possibile, allora, che certi modi di vibrazione diano origine a particelle prive di massa e dunque di energia? La risposta, ancora una volta, ha a che fare con il principio di indeterminazione. Per piccola che sia l'oscillazione di una stringa,  comunque soggetta alle fluttuazioni quantistiche; per una stranezza della teoria, queste possono far s che la sua energia sia negativa, il che, combinandosi in media con l'energia dovuta all'oscillazione, pu dare origine a una energia/massa totale nulla.
(174) Non  proprio cos: in realt i quadrati delle masse sono dati da multipli interi del quadrato della massa di Planck. Per essere ancora pi precisi (e vedremo nel capitolo XIII che la cosa ha una certa importanza) i quadrati delle masse sono multipli interi della scala di stringa, che a sua volta  proporzionale all'inverso del quadrato della lunghezza della stringa. Nelle formulazioni standard, la scala di stringa e la massa di Planck sono quasi la stessa cosa, ed  per questo che ho semplificato il testo. Nel capitolo XIII ci imbatteremo in situazioni in cui la scala di stringa differisce dalla massa di Planck.
(175) Non  difficile capire, grosso modo, come mai la lunghezza di Planck salti fuori in questo contesto. La relativit generale e la meccanica quantistica si basano su tre costanti fondamentali: la velocit della luce c, la costante gravitazionale G (che d in un certo senso la "misura standard" della forza di gravit) e la costante di Planck h (che fornisce l'ordine di grandezza degli effetti quantistici).  possibile combinare queste tre quantit in modo che diano un'altra costante che ha le dimensioni di una lunghezza: (hG/c3)1/2. Questa  la definizione di lunghezza di Planck. Sostituendo i valori numerici, si trova che  pari a circa 1,616 X 10-33 centimetri. Quindi, a meno che una costante adimensionale molto diversa da 1 salti fuori improvvisamente nel corso delle ricerche (il che non accade nelle buone teorie), ci aspettiamo che questo sia l'ordine di grandezza caratteristico delle lunghezze, come ad esempio nel caso delle dimensioni nascoste. Ci per non esclude la possibilit che queste dimensioni possano essere maggiori di quella di Planck (vedremo nel capitolo XIII che alcuni interessanti lavori recenti si basano proprio su questa ipotesi).
(176) Il caso dell'elettrone  di straordinaria complessit perch  una particella con carica elettrica e massa molto piccola.
(177) Osserviamo che l'ipotesi di simmetria avanzata nel capitolo VIII per ridurre le possibili forme dello spazio era motivata da precise osservazioni astronomiche (come ad esempio quelle sulla radiazione cosmica di fondo) effettuate nelle tre dimensioni visibili. I vincoli di simmetria che affrontiamo qui non hanno nessuna conseguenza sulla forma dello spazio dato dalle dimensioni extra.
(178) Ci potremmo chiedere se per caso non esistano anche dimensioni temporali aggiuntive, oltre a quelle spaziali. Alcuni ricercatori (come Itzhak Bars della University of Southern California) hanno studiato il problema e mostrato che  possibile formulare teorie sensate con due dimensioni temporali. Non si  ancora capito, per, se questo tempo aggiuntivo sia alla pari con quello ordinario o se sia un semplice artificio matematico per far tornare i conti; la sensazione pi diffusa  che sia vera la seconda ipotesi. Per contrasto, le dimensioni spaziali aggiuntive sembrano essere "reali" proprio come le tre visibili.
Gli esperti (e i lettori del capitolo XIII de L'universo elegante) avranno capito che intendo dire questo: certe versioni della teoria delle stringhe ammettono limiti che comportano uno spaziotempo a undici dimensioni. Non  ancora chiaro se la teoria delle stringhe sia fondamentalmente una teoria a undici dimensioni oppure se la formulazione a undici dimensioni sia da considerarsi come un limite particolare (ad esempio quando la costante di accoppiamento di stringa diventa molto grande), alla stessa stregua di altri limiti. Poich questa discussione non ha grandi conseguenze sul discorso generale che faccio qui, ho scelto di sposare la prima tesi, anche per maggiore facilit di esposizione.
(179) Per gli esperti: sto parlando qui della simmetria conforme, cio della simmetria rispetto a una arbitraria trasformazione che preserva gli angoli delle figure generate dall'evoluzione temporale nello spaziotempo dei costituenti fondamentali. Le stringhe spazzano superfici bidimensionali, e dunque le equazioni relative devono essere invarianti per l'azione del gruppo conforme bidimensionale, che ha dimensione infinita. Per contrasto, quando i costituenti fondamentali hanno dimensione diversa da 1, i gruppi conformi che agiscono sulle variet da essi generate sono finito-dimensionali.
(180) Ricordiamo in particolare: Michael Duff, Paul Howe, Takeo Inami, Kelley Stelle, Eric Bergshoeff, Ergin Szegin, Paul Townsend, Chris Hull, Chris Pope, John Schwarz, Ashoke Sen, Andrew Strominger, Curtis Callan, Joe Polchinski, Petr Horava, Jin Dai, Robert Leigh, Hermann Nicolai e Bernard deWit.
(181) Come ho spiegato nel capitolo XII de L'universo elegante, esiste una precisa connessione tra la decima dimensione spaziale e le p-brane. Nella teoria di tipo HA, ad esempio, al crescere della decima dimensione le stringhe diventano sempre pi "spesse" fino ad assumere la forma di cilindri bidimensionali. Se supponiamo che questa dimensione extra sia molto piccola, come  stato fatto in modo implicito prima della M-teoria, le stringhe si comportano in tutto e per tutto come anelli privi di spessore. Ancora non possiamo sapere se le p-brane siano davvero i costituenti ultimi della materia o se siano a loro volta composte. In generale gli esperti non si sbilanciano, e c' chi pensa che gli ingredienti finora trovati nella M-teoria non porteranno a identificare un elemento unico di cui tutta la materia  costituita. Visto che gran parte di ci che dir qui  valido in ogni caso, per amore di semplicit dar per scontato che tutti gli oggetti della M-teoria siano di tipo fondamentale. Che ne  allora del ragionamento con cui abbiamo aperto il paragrafo, secondo cui non si pu pervenire a una fisica sensata partendo da costituenti elementari dotati di dimensione? In realt era basato su un'approssimazione classica della meccanica quantistica, testata e sperimentata pi volte, ma pur sempre un'approssimazione e quindi dotata di qualche limite. Anche se i dettagli non sono ancora del tutto chiari, il fatto che la presenza di queste particelle elementari a pi dimensioni si adatti cos bene a tutt'e cinque le versioni della teoria delle stringhe viene visto come un segno del fatto che non si verifichi nessuna violazione di qualche principio fisico fondamentale.
(182) In realt, potremmo vivere in una brana di dimensioni ancora maggiori (una 4-brana, una 5-brana ecc.), tre delle quali sono quelle spaziali visibili e le altre quelle arrotolate e pi piccole, previste comunque dalla teoria.
(183) Per gli esperti: si sa da tempo che le stringhe chiuse hanno una propriet chiamata T-dualit (si vedano i capitoli X e XVI de L'universo elegante). In pratica, ci significa che se la dimensione extra ha la forma di un cerchio la teoria fornisce gli stessi identici risultati sia quando il raggio  lungo R, sia quando  lungo 1/R. Questo perch le stringhe possono assumere due posizioni indipendenti rispetto a un cerchio: arrotolarsi attorno (modo di avvolgimento) oppure scorrere lungo il cerchio (modo di vibrazione). Scambiando R con 1/R ci si  accorti che questi due modi si scambiano le parti, il che fa s che le propriet complessive del moto rimangano inalterate. Qui  essenziale che le stringhe siano chiuse, perch se sono aperte il concetto di avvolgimento non si pu definire in modo topologicamente stabile. Sembrerebbe quindi che stringhe aperte e chiuse si comportino in modo differente di fronte alla T-dualit. In realt, con qualche calcolo dettagliato e facendo uso delle condizioni al contorno di Dirichlet (da cui il nome "D-brane"), Polchinski, Dai Leigh, Horava, Green e altri ancora dimostrarono che non  cos.
(184) Nel tentativo di evitare di postulare l'esistenza della materia e dell'energia oscura, c' chi ha ipotizzato che la gravit alle grandi scale si comporti in modo diverso da quanto prevedano le teorie di Newton ed Einstein, e che cos si riescano a spiegare gli effetti gravitazionali incompatibili con la quantit di materia ed energia osservate. Si tratta di proposte altamente speculative, che non hanno trovato finora conferme n sperimentali n teoriche.
(185) L'idea  stata avanzata da S. Giddins, S. Thomas, S. Dimopoulos e G. Landsberg.
(186) La fase di contrazione di questo universo oscillante non  uguale alla fase di espansione vista alla rovescia. Processi fisici non reversibili come la rottura di un uovo o lo scioglimento di una candela continuerebbero ad avvenire nella direzione temporale consueta, ed  per questo che l'entropia continuerebbe a crescere sia nella fase di espansione sia in quella di contrazione.
(187) Per gli esperti: il modello ciclico pu essere descritto per mezzo di una teoria di campo effettiva a quattro dimensioni su una delle 3-brane, e in questa forma ha molte caratteristiche in comune con i pi familiari modelli inflazionari basati su campi scalari. Quando parlo di un meccanismo nuovo mi riferisco alla descrizione in termini di brane, che  un modo davvero innovativo di pensare alla cosmologia.
(188) Fate attenzione al calcolo delle dimensioni. Le due 3-brane, insieme con l'intervallo spaziale che le separa, hanno quattro dimensioni, che con il tempo diventano cinque. Ne rimangono sei per lo spazio di Calabi-Yau.
(189) Un'eccezione importante, di cui si parler nel prossimo capitolo,  data dalle disomogeneit del campo gravitazionale dette "onde gravitazionali primordiali". La cosmologia inflazionaria e il modello ciclico fanno previsioni diverse in questo caso, il che potrebbe fornire un modo di decidere sperimentalmente quale ipotesi sia corretta.
(190) Grazie alla meccanica quantistica sappiamo che esiste una probabilit non nulla che una fluttuazione casuale interrompa il processo ciclico (ad esempio che una brana si giri e non sia pi parallela all'altra). Anche se la sua probabilit  minuscola, prima o poi questo evento si verificher senz'altro, e quindi i cicli non possono continuare all'infinito.
(191) A. Einstein, in "Vierteljahrschrift fr gerichtliche Medizin und ffentliches Sanittsweisen", XLIV (1912), n. 37; D. Brill e J. Cohen, in "Physical Review", CXLIII (1966), n. 4, p. 1011; H. Pfister e K. Braun, in "Classical Quantum Gravity", II (1985), p. 909.
(192) Nei quarant'anni successivi alla proposta di Shiff e Pugh, si sono comunque tentate altre strade. Questi esperimenti (tra cui ricordiamo quelli di Bruno Bertotti, Ignazio Ciufolini, Peter Bender, I. I. Shapiro, R. D. Reasenberg, J. F. Chandler e R. W. Babcock) hanno misurato il moto della Luna e di altri satelliti artificiali e hanno trovato indizi del trascinamento. Uno dei vantaggi offerti da Gravity Probe B  che si tratta di un esperimento completamente controllato, e i suoi risultati dovrebbero essere molto pi precisi.
(193) Anche se servono a dare un'immagine intuitiva delle idee di Einstein, le figure di questo tipo hanno un limite nel fatto che non mostrano anche l'incurvatura del tempo. E questo  grave, perch nel caso di un corpo abbastanza ordinario come il Sole, dalle propriet non estreme come quelle dei buchi neri, i calcoli mostrano che la curvatura temporale  molto pi accentuata di quella spaziale (quindi pi vi avvicinate al Sole pi i vostri orologi rallentano).  un effetto difficile da disegnare e non  semplice far capire come riesce a far curvare le traiettorie spaziali come nel caso dell'orbita ellittica terrestre. Ecco perch la figura 3.10 (cos come tutte le altre che ho visto in un testo divulgativo) mostra soltanto la curvatura dello spazio.  bene tenere in mente, comunque, che in molte situazioni comuni in astrofisica la curvatura temporale domina su quella spaziale.
(194) Nel 1974 Russel Hulse e Joseph Taylor scoprirono un sistema binario di pulsar, costituito da due stelle di neutroni in rapida rotazione che orbitavano l'una attorno all'altra. La relativit generale prevede che questi due corpi molto rapidi e molto vicini tra loro emettano una gran quantit di radiazione gravitazionale. Anche se  molto difficile misurarla direttamente, secondo la teoria einsteiniana questa dovrebbe rivelarsi in modo indiretto attraverso altri mezzi: l'energia emessa tramite la radiazione dovrebbe far decrescere gradatamente il periodo orbitale delle pulsar. In effetti questo rallentamento  stato osservato, e i dati coincidono con quelli previsti dalla teoria con una precisione di una parte su mille. Anche se non le abbiamo osservate direttamente, dunque, abbiamo avuto una prova convincente dell'esistenza delle onde gravitazionali. Per la loro scoperta Hulse e Taylor ricevettero nel 1993 il Nobel per la fisica.
(195) 5Comunque si veda la nota 4.
(196) Dal punto di vista dell'energia coinvolta, quindi, i raggi cosmici forniscono un acceleratore di particelle naturale assai pi potente di quelli attualmente in uso o di prossima realizzazione. Purtroppo non abbiamo alcun modo di controllare gli urti delle particelle ad alta energia trasportate dai raggi cosmici: da questo punto di vista non possiamo fare altro che osservare passivamente ci che accade. Inoltre il numero di particelle trasportate diminuisce rapidamente all'aumentare dell'energia. Ogni secondo circa 10 miliardi di particelle cosmiche con un'energia equivalente alla massa del protone (che  circa un millesimo di quella massima ottenibile con l'acceleratore LHC) colpiscono un chilometro quadrato di superficie terrestre (e non poche di queste attraversano anche il vostro corpo); passando alle particelle pi energetiche, pari a circa 100 miliardi di masse protoniche, la cifra scende a una per chilometro quadrato ogni secolo. Gli acceleratori costruiti dall'uomo, inoltre, fanno scontrare tra loro due particelle in rapido movimento l'una contro l'altra, assommando cos una grande energia, mentre i raggi cosmici cozzano contro le particelle presenti naturalmente nell'atmosfera, che sono molto pi lente. Questi problemi non sono comunque insormontabili. Da molto tempo si studiano i raggi cosmici a bassa energia, che sono molto pi abbondanti e che hanno fornito molti dati interessanti. Per ovviare alla scarsit di quelli ad alta energia, invece, si sono costruiti dei particolari rivelatori molto grandi.
(197) Per gli esperti: in una teoria in cui lo spaziotempo  dinamico, la conservazione dell'energia diventa una questione delicata. Certamente, il tensore energia-impulso di tutte le sorgenti continua a mantenersi covariantemente costante, ma ci non si traduce necessariamente in una legge globale di conservazione dell'energia. C' un ottimo motivo per cui questo non accade: il tensore energia-impulso non tiene conto dell'energia gravitazionale, che  notoriamente difficile da trattare in relativit generale. Su scale spaziali e temporali piccole (come avviene in un acceleratore di particelle) vale una legge di conservazione locale, ma ogni generalizzazione va affrontata con la massima cura.
(198) Questo  vero per i modelli inflazionari pi semplici. Sono state proposte versioni pi complicate della teoria in cui le onde gravitazionali non vengono prodotte.
(199) Una candidata ideale al ruolo di materia oscura deve essere una particella stabile o con vita media molto lunga, cio non si deve annichilare subito per dar vita ad altre particelle. Si pensa che questa propriet valga per i pi leggeri tra i partner supersimmetrici; quindi il candidato da tenere in considerazione  il pi leggero tra zino, higgsino e fotino.
(200) Non molto tempo fa un gruppo di ricerca italo-cinese impegnato nei laboratori del Gran Sasso al cosiddetto DAMA (DARK MATTER EXPERIMENT) annunci di essere riuscito per la prima volta a verificare direttamente l'esistenza della materia oscura. Finora, per, nessuno  stato in grado di comprovare la loro scoperta. Un gruppo russo-americano che sta lavorando alla Stanford University a un altro esperimento, il CDMS (CRYOGENIC DARK MATTER SEARCH), sostiene invece di avere raccolto dati che confutano quasi certamente quelli del DAMA. Altri gruppi di ricerca sono comunque al lavoro in tutto il mondo: per un aggiornamento si veda il sito http://hepwww.rl.ac.uk/ukdmc/dark_matter/other_searches.html.
(201) Questa affermazione non sarebbe condivisa dagli adepti delle variabili nascoste, come nel caso dell'interpretazione di Bohm. Ma anche in questo caso, se volessimo teletrasportare lo stato quantico di un oggetto (la sua funzione d'onda), la sola misurazione di posizione e velocit non sarebbe adeguata.
(202) Il gruppo di Zeilinger comprendeva anche Dick Bouwmeester, Jian-Wi Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl e Harald Weinfurter, mentre in quello di De Martini c'erano anche Sandro Giacomini, Giorgio Milani, Fabio Sciarrino ed Egilberto Lombardi.
(203) Per chi conosce il formalismo della meccanica quantistica, ecco i dettagli essenziali del teletrasporto. Immaginiamo che lo stato iniziale di un fotone qui da me a New York sia |?>1 = a|0>1 + |1>1, dove |0> e |1> sono i due stati di polarizzazione del fotone, e i coefficienti sono definiti e normalizzati, ma arbitrari. Il mio obiettivo  fornire a Nicholas abbastanza informazioni in modo da renderlo in grado di riprodurre a Londra un fotone nel medesimo stato quantico. Per fare questo, prima di tutto ci muniamo di una coppia di fotoni entangled in uno stato che possiamo scrivere ad esempio come ?>23 = (1/v2) |0203> - (1/v2) |1213>. Lo stato iniziale del sistema di tre fotoni  dunque ?>123 = (a/v2) {|010203> - |011213>} + (/v2) {|110203> - |111213>}. Quando eseguo una misura dello stato di Bell dei fotoni 1 e 2, proietto questa parte del sistema su uno di questi quattro stati: |F> = (1/v2) {|0102>  |1112>} e |O> = (1/v2) {|0102>  |1102>}. Se ora riscriviamo lo stato iniziale usando questa base degli autostati per le particelle 1 e 2, troviamo: |?>123 = 1/2{|F>+ (a|03> - |13>) + |O>+ (a|13> + |03>) + |O>_(-a|13> - |03>)}. Quindi dopo aver effettuato la misura ho fatto "collassare" il sistema su uno di questi quattro addendi. Dopo che ho comunicato a Nicholas (con i mezzi consueti) quale di questi termini ho trovato, lui  in grado di manipolare il fotone 3 per riprodurre lo stato originale del fotone 1. Se ad esempio trovo che la mia misurazione d |F>_ Nicholas non deve fare nulla al fotone 3, perch  gi nello stato originale del fotone 1. Se trovo un altro risultato, Nicholas dovr applicare un'opportuna rotazione, dettata dal tipo di stato che io gli comunico per portare il fotone 3 nello stato voluto.
(204) Per il lettore esperto: a tal proposito non  difficile dimostrare il cosiddetto "teorema di non clonazione quantistica". Supponiamo di avere un operatore unitario U che effettua la clonazione, cio prende uno stato qualsiasi e lo trasforma in due sue copie: U manda |a> in |a>|a>. Applicando l'operatore a uno stato del tipo |a> + |>, per, otteniamo |a>|a> + |>|>, che non  la replica dello stato originario, data da (|a> + |>)(|a> + |>). Quindi U non pu esistere (la dimostrazione  di Wooters e Zurek, e risale all'inizio degli anni Ottanta).
(205) Molti altri ricercatori sono coinvolti nella parte teorica e sperimentale del progetto sul teletrasporto quantistico. Oltre a quelli citati nel testo, ricordiamo Sandu Popescu, all'epoca a Cambridge, il cui lavoro ha avuto un ruolo importante negli esperimenti di Roma, e Jeffrey Kimble e il suo gruppo, al California Institute of Technology, che  stato il pioniere del teletrasporto delle propriet continue di uno stato quantico.
(206) Per un resoconto di alcune interessantissime ricerche nel campo dei sistemi a pi particelle, si veda ad esempio B. Julsgaard, A. Kozhekin ed E. S. Polzik, Experimental long-lived entanglement of two macroscopic objects, in "Nature", CDXIII (settembre 2001), pp. 400-3.
(207) Uno dei pi attivi e promettenti settori di ricerca che fa uso dell'entanglement e del teletrasporto quantistico  quello della computazione quantistica. Per un'introduzione a livello divulgativo si veda T. Siegfried, The Bit and the Pendulum, Wiley, New York 2000; e G. Johnson, A Shortcut Through Time, Knopf, New York 2003.
(208) Un fenomeno dovuto al ritardo degli orologi a velocit via via pi elevate, che non abbiamo esaminato nel capitolo III ma che qui entrer in gioco,  il cosiddetto paradosso dei gemelli. Il concetto di base  semplice: se io mi allontano da voi con velocit costante, vedo il vostro orologio andare indietro rispetto al mio. Ma poich la situazione  simmetrica e sia voi sia io possiamo affermare legittimamente di essere in quiete, voi pensate che sia il mio orologio a rallentare. Il fatto che entrambi pensiamo che l'orologio dell'altro sia indietro pu sembrare paradossale, ma non lo . Se la velocit rimane costante, la distanza tra noi aumenter e sar impossibile confrontare faccia a faccia i due orologi per determinare qual  quello "giusto"; e tutti gli altri modi che prevedono una forma di interazione fra noi (ad esempio confrontare le ore segnate comunicandocelo al cellulare) avvengono non istantaneamente ma con l'impiego di un certo tempo, il che fa entrare in gioco le varie complicazioni relative alla simultaneit tra i vari osservatori, da noi affrontate nei capitoli III e V. Non mi soffermer qui sui dettagli, ma quando tutte queste considerazioni vengono messe insieme si trova che non c' contraddizione nell'affermare che due osservatori in moto costante l'uno rispetto all'altro vedono entrambi l'orologio dell'altro rallentare (per una discussione completa a livello tecnico ma semplice da seguire, si veda ad esempio E. Taylor e J. A. Wheeler, Spacetime Physics). Le cose si fanno pi complesse se uno di noi rallenta, si ferma e torna indietro, in modo che possiamo trovarci faccia a faccia a confrontare i nostri orologi, senza le complicazioni dovute alle diverse simultaneit. Se ad esempio io sono rimasto sulla Terra e voi siete volati via, al vostro ritorno chi avr l'orologio pi avanti dell'altro? In altre parole: se io fossi un vostro gemello, al vostro ritorno saremmo ancora uguali o uno di noi sarebbe pi vecchio? La risposta  che il mio orologio sar avanti, e quindi io sar pi vecchio di voi. Per spiegare questo paradosso ci sono molti modi; il pi semplice  osservare che quando cambiate velocit avvertite un'accelerazione, e la simmetria tra i due nostri punti di vista si perde: voi potete a ragione asserire di essere in movimento (visto che ve ne siete accorti con l'accelerazione, o in alternativa, per usare il linguaggio del capitolo III, visto che la vostra traiettoria nello spaziotempo non  pi una linea retta come la mia), quindi il vostro orologio ha rallentato e per voi  passato meno tempo.
(209) John Wheeler, tra gli altri, ha ipotizzato un possibile ruolo fondamentale degli osservatori in un universo quantistico, sintetizzandolo con uno dei suoi famosi aforismi: "Nessun fenomeno elementare  un fenomeno fino a quando non  un fenomeno osservato"; per saperne di pi sulla interessante vita e carriera scientifica di questo grande fisico, si veda J. A. Wheeler e K. Ford, Geons, Black Holes, and Quantum Foam, Norton, New York 1998. Anche Roger Penrose si  occupato della relazione tra mente e meccanica quantistica, nel suo ormai classico La mente nuova dell'imperatore (si vedano i riferimenti bibliografici) e in Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness, Oxford University Press, Oxford 1994 [trad. it. Ombre della mente. Alla ricerca della coscienza, Rizzoli, Milano 1996].
(210) Si veda ad esempio A. Einstein, Reply to Criticism, in P. A. Schilpp (a cura di), Albert Einstein Philosopher-Scientist, Tudor, New York 1949 [trad. it. in Autobiografia scientifica, Boringhieri, Torino 1979].
(211) W. J. van Stockum, in "Proceedings of the Royal Society of Edinburgh", serie A, LVII (1937), p. 135.
(212) Il lettore esperto si sar accorto che qui sto semplificando le cose. Nel 1996 Robert Geroch, all'epoca uno studente di John Wheeler, dimostr che almeno in linea di principio  possibile costruire un cunicolo senza strappare lo spazio. Al contrario della versione pi intuitiva in cui lo spazio si rompe e la sola esistenza del cunicolo non comporta necessariamente un viaggio nel tempo, nel modello di Geroch gi in fase di costruzione dobbiamo imporre che il tempo si deformi in modo da consentire viaggi in avanti e indietro (non per prima dell'inizio della costruzione stessa).
(213) In linea di massima, se ci trovassimo a passare a velocit prossima a quella della luce in una regione di spazio in cui  presente questa materia esotica, troveremmo che la media di tutte le misure della densit di energia  negativa. I fisici direbbero che in questo caso  violata la condizione debole dell'energia in forma mediata.
(214) La pi semplice incarnazione della materia esotica  data dalle fluttuazioni nel vuoto del campo elettromagnetico tra le lastre parallele dell'esperimento di Casimir, che abbiamo visto nel capitolo XII. Secondo i calcoli, la minor fluttuazione quantistica nella zona tra le lastre, rispetto al resto dello spazio, d vita a una densit media di energia negativa (oltre che a una pressione negativa).
(215) Per una trattazione didattica, anche se a livello tecnico, dei cunicoli spaziotemporali, si veda M. Visser, Lorentzian Wormholes: From Einstein to Hawking, American Institute of Physics Press, New York 1996.
(216) Per chi conosce un po' di matematica: come detto nella nota 6 del capitolo VI, l'entropia  definita come il logaritmo del numero di possibili configurazioni, e ci  fondamentale in questo caso. Se uniamo due contenitori, il numero di stati complessivi delle molecole di aria  dato dal prodotto degli stati dei singoli contenitori, cio in questo caso dal quadrato del numero degli stati di un contenitore. Passando ai logaritmi, troviamo che l'entropia  raddoppiata, come richiesto.
(217) Vi sembrer strano confrontare un volume con un'area, visto che si tratta di grandezze diverse. Qui voglio semplicemente farvi notare che al crescere del raggio, i volumi aumentano molto pi rapidamente delle aree. Poich l'entropia  proporzionale alla superficie, aumenta pi lentamente di quanto non faccia il volume della regione di spazio interessata.
(218) Questo  vero in prima approssimazione, e serve a dare una misura qualitativa del fenomeno, ma chi conosce la materia sa bene che il valore esatto  un altro. Come ha calcolato Raphael Bousso, il flusso di entropia attraverso una ipersuperficie di tipo nullo (con parametro di focalizzazione ? ovunque non positivo)  limitato da A/4, dove A  l'area di una sezione di tipo spazio dell'ipersuperficie.
(219) Pi precisamente, l'entropia di un buco nero  pari all'area del suo orizzonte degli eventi espresso in unit di Planck, diviso per 4 e moltiplicato per la costante di Boltzmann.
(220) Ricorderete che nella nota 10 del capitolo VIII abbiamo parlato di un orizzonte diverso da quello degli eventi, l'orizzonte cosmico, che  la superficie che racchiude gli oggetti con cui un osservatore ha potuto interagire in linea di principio. Si pensa che anche gli orizzonti cosmici abbiamo un'entropia proporzionale alla loro area.
(221) Nel 1971 Dennis Gabor, un fisico di origini ungheresi, vinse il premio Nobel grazie alla sua scoperta dell'olografia. Negli anni Quaranta Gabor si stava applicando a migliorare la risoluzione dei microscopi elettronici e si era messo a studiare un modo per ricavare quante pi informazioni possibili da un fascio di luce riflesso da un oggetto. Una macchina fotografica, ad esempio, distingue le intensit dei fasci luminosi, fornendo un'immagine che  chiara l dove il fascio  forte e scura dove  pi debole. Gabor e molti suoi colleghi si resero conto, per, che un fascio luminoso trasporta anche altre informazioni; ne abbiamo avuto un esempio nella figura 4.3b: la figura di interferenza che si crea dipende s dall'intensit (cio dall'ampiezza delle onde), ma soprattutto dalla configurazione precisa dei picchi e dei ventri delle due onde, che si amplificano e si annullano a seconda del modo in cui si incontrano. Questo secondo tipo di informazione codificato in un fascio luminoso  detto informazione di fase; due onde si dicono in fase se si rinforzano (cio se stanno entrambe in un picco o una valle nello stesso momento) e fuori fase se si cancellano (quando una  in un picco l'altra  in un ventre e viceversa); ci sono poi tutte le configurazioni di fase intermedie tra queste due. Una figura di interferenza, dunque, registra le informazioni di fase di due onde luminose che interagiscono.
Gabor riusc a trovare un modo per registrare su una pellicola speciale sia l'intensit che l'informazione di fase di un fascio di luce riflesso da un oggetto. La situazione, riformulata in linguaggio moderno,  simile a quella della figura 7.1; in questo caso per davanti a uno dei due raggi laser viene posto un oggetto, contro cui il raggio rimbalza prima di colpire uno schermo su cui  stata posta un'opportuna lastra fotografica. Sullo schermo comparir una figura di interferenza, generata dall'interazione tra il raggio che ha viaggiato inalterato e quello che ha interagito con l'oggetto; la figura registra sia l'intensit luminosa, sia l'informazione di fase. Le applicazioni della scoperta di Gabor sono notevoli e hanno permesso grandi miglioramenti nelle tecniche di misurazione. Ma per il vasto pubblico, la conseguenza pi nota di questa invenzione  la diffusione commerciale degli ologrammi.
La fotografia ordinaria fornisce un'immagine piatta perch  in grado di registrare solo l'intensit luminosa. Per dare il senso della profondit, c' bisogno dell'informazione di fase. Le differenze di fase tra i fasci luminosi che sono stati riflessi dalle varie parti di un oggetto ci comunicano le distanze tra le parti stesse; in un gatto visto frontalmente, ad esempio, gli occhi sono arretrati rispetto al muso, e questa differenza di profondit viene registrata dalla differenza di fase tra le onde luminose che ci arrivano dalle varie parti del gatto. Grazie agli ologrammi, che sono in grado di registrare queste informazioni, abbiamo dunque un'idea della profondit. I risultati sono spesso stupefacenti, come avrete tutti visto: proiezioni tridimensionali realistiche generate da un semplice pezzo di plastica bidimensionale.  interessante osservare che la sensazione della profondit non ci viene data dall'informazione di fase ma dalla parallasse: il nostro sistema visivo registra la piccola differenza di angolazione con cui la luce di un punto giunge a un occhio rispetto all'altro, e il cervello mette in atto un meccanismo con cui ricostruisce la distanza del punto stesso. Ecco perch chi non vede da un occhio ha problemi a valutare le distanze e la profondit spaziale.
(222) Per gli esperti, l'enunciato pi preciso  il seguente: un fascio di fotoni, o pi in generale di particelle prive di massa, pu andare avanti e indietro tra un qualsiasi punto interno di uno spaziotempo di tipo anti-deSitter e l'infinito (spaziale) in un tempo finito.
(223) Per gli esperti: Maldacena ha usato come background variet della forma AdS5 X S5 (essendo AdS5 uno spazio di tipo anti-deSitter di dimensione 5 e S5 la sfera a 5 dimensioni). La "teoria di bordo" vive sul bordo di AdS5.
(224) Questa affermazione ha pi a che fare con la sociologia della scienza che con la fisica. La teoria delle stringhe  nata nel solco della tradizione della meccanica quantistica, mentre la LQG ha preso le mosse dalla relativit generale.  importante sottolineare, per, che oggi solo la teoria delle stringhe riesce a tener conto in modo soddisfacente della relativit generale, perch si comporta bene anche alle grandi distanze; questo  invece il problema della LQG, che funziona ottimamente a livello microscopico ma ha difficolt a fare il salto di scala.
(225) Pi precisamente (si veda al proposito il capitolo XIII de L'universo elegante), i primi a calcolare l'entropia dei buchi neri furono Bekenstein e Hawking negli anni Settanta. Il loro metodo era per molto indiretto e non riusciva a identificare il numero di possibili disposizioni degli stati microscopici che avrebbe consentito una verifica per calcolo diretto. A met degli anni Novanta il problema fu risolto da due esperti di stringhe, Andrew Strominger e Cumrun Vafa, che riuscirono in modo ingegnoso a trovare una relazione tra i buchi neri e certe configurazioni di brane nella M-teoria. In sintesi, i due dimostrarono che certi tipi speciali di buchi neri avevano un numero di possibili disposizioni degli stati elementari (qualunque essi fossero) pari al numero di alcune particolari combinazioni di certe brane. Contandole e prendendone il logaritmo, trovarono un numero pari all'area dell'orizzonte degli eventi del buco nero, espressa in unit di Planck, diviso per 4, cio lo stesso valore a cui si era giunti vent'anni prima. Con la LQG si  riusciti a dimostrare che l'entropia  proporzionale all'area, ma  stato molto difficile arrivare al valore quantitativo esatto (la divisione per 4 e l'espressione in unit di Planck). Se si sceglie in modo appropriato il cosiddetto parametro di Immirzi, allora si ritrova il valore giusto; nulla per all'interno della teoria sembra giustificare questa posizione.
(226) Come ho fatto in tutto il capitolo, qui trascuro alcuni parametri numerici rilevanti dal punto di vista quantitativo ma non da quello qualitativo.
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FINE.
